[franma]

Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Una esfera de radio \( R \) y masa \( M \) está en reposo sobre un plano inclinado, sostenida por una cuerda horizontal.
Entre el plano y la esfera se mide un coeficiente de rozamiento estático \( \mu_s = 0.7 \). Si el ángulo de inclinación del plano es \( \theta = 30º \), ¿Cuál es la fuerza de rozamiento entre el plano y la esfera?



Realice lo siguiente (aunque creo no llegue a ninguna respuesta):
Tome el sistema de referencia paralelo al suelo, eje x positivo hacia la derecha, eje y positivo hacia arriba y eje z positivo en sentido horario.

1era cardinal:
x: \( T+F_r\cos\theta-N\sin\theta=0 \)
y: \( N\cos\theta+F_r\sin\theta-Mg=0 \)
2da cardinal:
z: \( TR-F_rR=0 \Rightarrow R(T-F_r)=0 \Rightarrow T=F_r \)

De la primera ecuación:
\( N=\dfrac{T+F_r\cos\theta}{\sin\theta} \)

Sustituyo en la segunda ecuación y utilizando el resultado de la tercera (\( T=F_r \)) :
\( \left(\dfrac{F_r+F_r\cos\theta}{sin\theta}\right)\cos\theta+F_r\sin\theta-Mg=0 \)

Operando llego a:
\( \boxed{F_r=\dfrac{Mg\sin\theta}{\cos\theta+1}} \)

¿Seria correcto? Técnicamente la masa esta como dato en la letra, pero al darme valores numéricos tanto para el ángulo como para el coeficiente de rozamiento no se si debo despejar todos los datos y asignarle un valor numérico.

Saludo,
Franco.

[hméndez]

Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Una esfera de radio \( R \) y masa \( M \) está en reposo sobre un plano inclinado, sostenida por una cuerda horizontal.
Entre el plano y la esfera se mide un coeficiente de rozamiento estático \( \mu_s = 0.7 \). Si el ángulo de inclinación del plano es \( \theta = 30º \), ¿Cuál es la fuerza de rozamiento entre el plano y la esfera?



Realice lo siguiente (aunque creo no llegue a ninguna respuesta):
Tome el sistema de referencia paralelo al suelo, eje x positivo hacia la derecha, eje y positivo hacia arriba y eje z positivo en sentido horario.

1era cardinal:
x: \( T+F_r\cos\theta-N\sin\theta=0 \)
y: \( N\cos\theta+F_r\sin\theta-Mg=0 \)
2da cardinal:
z: \( TR-F_rR=0 \Rightarrow R(T-F_r)=0 \Rightarrow Saludos.tex]

De la primera ecuación:
[tex]N=\dfrac{T+F_r\cos\theta}{\sin\theta} \)

Sustituyo en la segunda ecuación y utilizando el resultado de la tercera (\( T=F_r \)) :
\( \left(\dfrac{F_r+F_r\cos\theta}{sin\theta}\right)\cos\theta+F_r\sin\theta-Mg=0 \)

Operando llego a:
\( \boxed{F_r=\dfrac{Mg\sin\theta}{\cos\theta+1}} \)

¿Seria correcto? Técnicamente la masa esta como dato en la letra, pero al darme valores numéricos tanto para el ángulo como para el coeficiente de rozamiento no se si debo despejar todos los datos y asignarle un valor numérico.

Saludo,
Franco.

Todo bien hasta allí, luego debes revisar que  \( F_r \) no sobre pase su valor límite que es \(  N\mu_s \).

Saludos.

[JCB]

Hola a tod@s.

Efectivamente, como la fuerza de rozamiento \( F_r \), como la normal \( N \) quedan en función de \( M \), el ejercicio acaba donde tú llegaste, franma. La condición \( F_r<\mu_eN \), solo te servirá para determinar un coeficiente de rozamiento estático mínimo (en función del ángulo del plano inclinado), para que no se mueva la esfera.

\( \mu_e>\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta} \), cosa que se cumple, pues \( 0,7>0,27 \).

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola a todos, en todo problema estático, es decir cuando hay fuerzas pero no movimiento, que es  detectable por la presencia de velocidad lineal o angular, cualquier punto  es indistinto para situar el centro de momentos, En particular es interesante elegir los puntos donde las fuerzas concurren, pues como se hallan sobre la recta de acción de esas fuerzas su momento respecto del punto es nulo, lo que permite despejar con mas claridad algunas incognitas.

Si repites el proceso en varios puntos diferentes, el sistema de ecuaciones se hace linealmente dependiente, pero es posible reemplazar algunas o todas la ecuaciones de la segunda ley de newton, y arribar a resultados fáciles de interpretar y despejar,

fijate lo que tu has hecho elegir el centro de la esfera, así eliminas el momento producido por la normal y el peso.

pero si eliges el punto donde se ancla la cuerda al plano, verás que por simetría obtienes que \( Mg=N \) sin recurrir a ninguna otra ecuación

\( \displaystyle \sum M=0=Mg\,d-N\,d \)

sin importar cuánto valga esa distancia \( d \)  que no aporto el enunciado la conclusión es directa ....

para que sirve esto ...para evaluar lo que te dice JCB

la máxima fuerza posible de rozamiento que mantiene el sistema estático es \( Fr_{max}=\mu_eN \) y ahora sabes que es  \( Fr_{max}=\mu_eMg \)

tu obtuviste

\( F_r=\dfrac{Mg\sin\theta}{\cos\theta+1} \)

así que puedes comparar si \( F_r \) es menor que el máximo permitido para mantener el sistema estático

\( \mu_e \cancel{Mg}> \dfrac{\cancel{Mg}\sin\theta}{\cos\theta+1} \)

de donde

\( \mu_e>\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta} \)

de donde te explicaron que se cumple y entonces los cálculos son correctos para una situación estática.

También en algunos problemas te pueden pedir que averigues cual es el máximo ángulo del plano inclinado para que la esfera  no deslice.

si recuerdas que \( \cos \theta =\sqrt{1-\sin^2\theta} \)

de allí sacas



corregido


\( \sqrt{1-\sin^2\theta}\mu_e+\mu_e=\sin\theta \)


si \( x=\sin\theta \)


entonces




\( \sqrt{1-x^2}\mu_e+\mu_e=x \)


\( 1-x^2=\left(\dfrac{x-\mu_e}{\mu_e}\right)^2 \)


te leva a que \( x=\dfrac{2\mu_e}{1+\mu_e^2} \)


\( \theta\cong 70° \)


como 70°>30° entonces el sistema permanece estático

 Saludos

[hméndez]

Hola a tod@s.

... el ejercicio acaba donde tu llegaste, franma. La condición \( F_r<\mu_eN \), solo te servirá para determinar un coeficiente de rozamiento estático mínimo (en función del ángulo del plano inclinado), para que no se mueva la esfera.

\( \mu_e>\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta} \), cosa que se cumple, pues \( 0,7>0,27 \).

Saludos cordiales,
JCB.

Hola JCB, el problema nos plantea una condición de equilibrio estático, para el cual no sabemos si el movimiento de la esfera sea inminente. Si esto último estuviera presentándose las ecuaciones de equilibrio deberían modificarse tomando en cuenta que la fuerza de rozamiento \(  F_r \) vendrían dada por la expresión \( F_r=N\mu_s \), lo que llevaría probablemente a una respuesta para \( F_r \) distinta a la obtenida por franma.

Saludos.

[franma]

Buenas a todos,

Gracias por las explicaciones detalladas  .
Hoy publicaron el solucionario y este muestra \( f_r=\dfrac{Mg}{2+\sqrt3} \) que es a lo que llego yo.
En un principio creí que el ejercicio quería un valor numérico, pero al dar la masa como un "dato" parece no ser posible y de ahí salía mi confusión.

Saludos,
Franco.

[JCB]

Hola a tod@s.

Cuando escribí que “… el ejercicio acaba donde tú llegaste, franma. La condición \( F_r<\mu_eN \), solo te servirá para determinar un coeficiente de rozamiento estático mínimo (en función del ángulo del plano inclinado), para que no se mueva la esfera ...”, me refería a que no es posible determinar \( M \). Considero a las expresiones obtenidas por franma, de \( N \) y \( F_r \), como correctas.

Por otra parte, hméndez, la fuerza de rozamiento \( F_r \) no va a sobrepasar a \( \mu_eN \), al menos, con el coeficiente de rozamiento estático \( (\mu_e=0,7) \) y el ángulo del plano inclinado \( (\theta=30^{\circ}) \) que indica el enunciado. Luego, no se trata de una situación de movimiento inminente, repito, si nos atenemos a los datos del enunciado. Para que la situación fuese de movimiento inminente, entonces se debería cumplir que \( \mu_e\leq0,27 \), para un ángulo del plano inclinado de \( 30^{\circ} \), claro.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

\( F_r=\dfrac{Mg\sin\theta}{\cos\theta+1} \)

\( F_r=\dfrac{Mg\sin30}{\cos30\, +1} \)

\( F_r=\dfrac{Mg\dfrac 12}{\dfrac{\sqrt 3}{2}+1} \)

\( F_r=\dfrac{Mg}{2(\dfrac{\sqrt 3}{2}+1)} \)

\( F_r=\dfrac{Mg}{\sqrt 3+2} \) cqd
Perfecto!!! igual al solucionario.

Nos leemos