[stevtong]

A un hombre se le reparten 4 cartas de espada de un mazo de 40. Si se le dan 3 cartas más (sin
reposición) hallen la probabilidad de que por lo menos una de ellas sea también de espada.

Que tal? Estoy teniendo problemas con este ejercicio, la verdad pensé que era fácil pero no logro llegar al resultado correcto y no se que estoy planteando mal. Sume las probabilidades de que de las 3 cartas una sea de espada, que dos sean de espadas y que las tres sean de espadas.

Las cuentas me han quedado algo así:
P1 = 6/36 . 5/35 . 4/34 (tres espadas)
P2= 6/36 . 30/35 . 29/34 (una espada)
P3 = 6/36 . 5/35 . 30/34 (dos espadas)

Aun así no logro llegar al resultado correcto... Gracias!

[Richard R Richard]

Mi intento sería pensar lo siguiente

en el mazo te quedan 37 cartas y solo 7 son de espadas

la primera carta tiene probabilidad de 7/37 de ser espada   , esa es la posibilidad de acertar con la primera carta

si no has acertado a la espada en el 30/37  de las veces puedes sacar una segunda carta en  las que hay 7 espadas entre 36 cartas restantes

y si vuelves a fallar con 29/37 posibilidades en la tercera tienes 7 entre 35 cartas

entonces tiene  \( P=\dfrac{7}{37}+\dfrac{30}{37}\dfrac{7}{36}+\dfrac{29}{36}\dfrac{7}{35} \)

[Juan Pablo Sancho]

Mi intento sería pensar lo siguiente

en el mazo te quedan 37 cartas y solo 7 son de espadas

la primera carta tiene probabilidad de 7/37 de ser espada   , esa es la posibilidad de acertar con la primera carta

si no has acertado a la espada en el 30/37  de las veces puedes sacar una segunda carta en  las que hay 7 espadas entre 36 cartas restantes

y si vuelves a fallar con 29/37 posibilidades en la tercera tienes 7 entre 35 cartas

entonces tiene  \( P=\dfrac{7}{37}+\dfrac{30}{37}\dfrac{7}{36}+\dfrac{29}{36}\dfrac{7}{35} \)

Pero en el mazo quedan \( 36 \)

Tienes ahora 36 cartas de las cuales 6 son de espadas, es más fácil calcular el complementario.
De las tres cartas siguientes ninguna sea de espadas:
\( \dfrac{30}{36} \cdot \dfrac{29}{35} \cdot \dfrac{28}{34} \).
Entonces lo buscado es \( 1-\dfrac{30}{36} \cdot \dfrac{29}{35} \cdot \dfrac{28}{34} \)
En tus cuentas stevtong \( p_2 \) y \( p_3 \) deben estar multiplicadas por \(  \displaystyle 3 = {3 \choose 2} = {3 \choose 1}  \).
En \( p_2 \) tienes una espadas pero te falta ver que pudo ser en la primera segunda o tercera extracción y eso se debe contar.

[Richard R Richard]

ah!! no que error mas ingenuo , eran 4 al principio y quedaban 6 espadas en el mazo  Gracias Juan Pablo


yo calculo \( \cancel{P=\dfrac{6}{36}+\dfrac{30}{36}\dfrac{6}{35}+\dfrac{29}{35}\dfrac{6}{34}=0.455} \)


y tu dices \( P=1-\dfrac{30}{36} \cdot \dfrac{29}{35} \cdot \dfrac{28}{34}=0.431 \)


ya veré donde tengo mi error ahora .


Edito ya lo vi la tercera carta la saca si no sacaste espada en la primera tambien

\( P=\dfrac{6}{36}+\dfrac{30}{36}\dfrac{6}{35}+\dfrac{30}{36}\dfrac{29}{35}\dfrac{6}{34}=0.431 \)

[Juan Pablo Sancho]

Sea \( A_i = \{  \) Ha salido exactamente i espadas \(  \}  \) entonces lo que buscamos es:
\( P[A_1 \cup A_2 \cup A_3] = P[A_1] + P[A_2] + P[A_3]  \)
Para \( P[A_1] \) por ejemplo:
\( P[A_1] = \dfrac{6}{36} \cdot \dfrac{30}{35} \cdot \dfrac{29}{34} + \dfrac{30}{36} \cdot \dfrac{6}{35} \cdot \dfrac{29}{34}  + \dfrac{30}{36} \cdot \dfrac{29}{35} \cdot \dfrac{6}{34}  \)

[alephmatematica]

Tenés que considerar el conjunto de las cartas restantes en el mazo \( E \), y el espacio muestral:

\[ \Omega = \{ (x,y,z)\in E^3:x\neq y \land x\neq z \land y\neq z \} \]

Consideramos los siguientes sucesos:

\[ E_1 = \{ (x,y,z)\in \Omega: x\mbox{ es de espada} \} \]

\[ E_2 = \{ (x,y,z)\in \Omega: y\mbox{ es de espada} \} \]

\[ E_3 = \{ (x,y,z)\in \Omega: z\mbox{ es de espada} \} \]

El suceso al cual nos piden calcular la probabilidad es \( E_1\cup E_2\cup E_3 \). Hay dos formas de calcularla:

1) Calculando la probabilidad del suceso complementario:

\[  P(E_1\cup E_2\cup E_3)=P\left(\overline{\overline{E_1\cup E_2\cup E_3}}\right)  \]

\[  P(E_1\cup E_2\cup E_3)=P\left(\overline{\overline{E_1}\cap \overline{E_2}\cap \overline{E_3}}\right)  \]

\[  P(E_1\cup E_2\cup E_3)=1-P\left(\overline{E_1}\cap \overline{E_2}\cap \overline{E_3}\right)  \]

\[  P(E_1\cup E_2\cup E_3)=1-P\left(\overline{E_1}\right)P\left(\overline{E_2}|\overline{E_1}\right)P\left(\overline{E_3}|\overline{E_1}\cap\overline{E_2}\right)  \]

\[  P(E_1\cup E_2\cup E_3)=1- \frac{30}{36}\cdot\frac{29}{35}\cdot\frac{28}{34} = 1-\frac{29}{51}=\frac{22}{51}\simeq 0,4313  \]

2) Utilizando el principio de inclusión-exclusión y la fórmula para la probabilidad condicional:

\[ P(E_1\cup E_2 \cup E_3)=P(E_1)+P(E_2)+P(E_3)-P(E_1\cap E_2)-P(E_1\cap E_3)-P(E_2\cap E_3)+P(E_1\cap E_2\cap E_3) \]

\[ P(E_1\cup E_2 \cup E_3)=P(E_1)+P(E_2)+P(E_3)-P(E_1)P(E_2|E_1)-P(E_1)P(E_3|E_1)-P(E_2)P(E_3| E_2)+P(E_1)P(E_2|E_1)P(E_3|E_1\cap E_2) \]

Donde:

\[  P(E_1)=P(E_2)=P(E_3)=\frac{6}{36} \]

\[  P(E_2|E_1)=P(E_3|E_1)=P(E_3|E_2)=\frac{5}{35} \]

\[  P(E_3|E_1\cap E_2)=\frac{4}{34} \]

Reemplazando los valores:

\[ P(E_1\cup E_2 \cup E_3)=\displaystyle\frac{6}{36}+\frac{6}{36}+\frac{6}{36}-\frac{6}{36}\cdot\frac{5}{35}-\frac{6}{36}\cdot\frac{5}{35}-\frac{6}{36}\cdot\frac{5}{35}+\frac{6}{36}\cdot\frac{5}{35}\cdot\frac{4}{34} \]

\[ P(E_1\cup E_2 \cup E_3)=\displaystyle\frac{1}{2}-\frac{1}{14}+\frac{1}{357}=\frac{22}{51}\simeq 0,4313 \]