[franma]

Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Un bombero sube por una escalera rígida de largo total \( 2L \). La primera sección de la escalera tiene largo \( L = 7,5 m \) y una masa \( M = 350 kg \) (el resto de la escalera puede suponerse de masa despreciable). La escalera está apoyada formando un ángulo de \( 45º \) sobre un piso cuyo coeficiente de rozamiento estático es \( \mu_S = 0,6 \). La escalera tiene un punto de apoyo \( P \) sin fricción en el extremo del primer tramo de escalera, como se muestra en la figura. La masa máxima del bombero que puede subir hasta el extremo superior de la escalera sin que ésta se mueva, es:
(a) \( 63 kg  \)
(b) \( 70 kg  \)
(c) \( 81 kg  \)
(d) \( 88 kg  \)
(e) \( 95 kg \)
Nota: La reacción en el punto \( P \) es normal a la escalera.



La verdad no se bien como plantear el ejercicio. No se si para este caso el mejor sistema de referencia seria paralelo al suelo o a la escalera.
Intente resolverlo y no llego al resultado... ni cerca, debo haberle errado a algo ya que obtengo \( m=800.7kg \) 

Espero me puedan dar algún consejo de como comenzar el ejercicio.

Saludos,
Franco.

[Richard R Richard]

Hola, como va,  veamos hago el planteo y tu las cuentas  a ver si llegamos a uno de los 5 posibles resultados

son tres las ecuaciones que tiene que plantearte, la segunda ley de Newton en 2 ejes y la sumatoria de momentos

sumatoria de las fuerzas en el eje x , si allí queremos que no se mueva, hacemos que la aceleración sea cero 
hay dos puntos de contacto con dos fuerzas de contacto normales en el piso  con subíndice 1 y en p con subíndice 2




\( \displaystyle \sum F_x=0=\mu N_1-N_2\cos 45° \)

lo mismo para el eje y

\( \displaystyle \sum F_y=0=-N_1-N_2\sin 45°+(m_e+m_h)g \)

la sumatoria  momento para el punto P por ejemplo  sentido horario positivo


corregido me he dejado alguna g




\( \displaystyle \sum M=0=N_1L\cos45°+m_hg L\cos45°-m_e\color{blue}g\color{black}\dfrac L2 \cos 45°-\mu N_1L\sin45° \)


Si hay algún término  que no identificas de donde proviene hazmelo saberte quedan 3 ecuaciones con tres incógnitas , \( N_1,\ N_2 , \ m_h \)

[franma]

Buenas Richard,

Hola, como va,  veamos hago el planteo y tu las cuentas  a ver si llegamos a uno de los 5 posibles resultados

son tres las ecuaciones que tiene que plantearte, la segunda ley de Newton en 2 ejes y la sumatoria de momentos

sumatoria de las fuerzas en el eje x , si allí queremos que no se mueva, hacemos que la aceleración sea cero 
hay dos puntos de contacto con dos fuerzas de contacto normales en el piso  con subíndice 1 y en p con subíndice 2




\( \displaystyle \sum F_x=0=\mu N_1-N_2\cos 45° \)

lo mismo para el eje y

\( \displaystyle \sum F_y=0=-N_1-N_2\sin 45°+(m_e+m_h)g \)

la sumatoria  momento para el punto P por ejemplo  sentido horario positivo

\( \displaystyle \sum M=0=N_1L\cos45°+m_hg L\cos45°-m_e\dfrac L2 \cos 45°-\mu N_1L\sin45° \)

Si hay algún término  que no identificas de donde proviene hazmelo saber

te quedan 3 ecuaciones con tres incógnitas , \( N_1,\ N_2 , \ m_h \)

En el tiempo desde que publique el problema seguí trabajando, respecto a la 2da ley estamos iguales, solamente que elegí el eje \( y \) positivo hacia el otro lado pero no nos debería afectar.
El problema ahora esta en el torque... decidí medirlo desde el punto de contacto de la escalera con el suelo y me quedo así:

\( \dfrac{L}{2}m_eg\cdot \cos(45)+2L\cos(45)m_hg-LN_2=0 \)

Agrego: Ya que en la sumatoria de todos los torques la longitud L es común entre todos los términos, podríamos cancelarla y por lo tanto concluir que el dato del largo de la escalera esta de mas ¿Es correcto?.

¿Esto seria correcto? Lo hice así y no llegue al resultado (probablemente errores algebraicos).
Si este planteamiento del momento es correcto me dedicare a hacer las cuentas y ver a que llego nuevamente.

Saludos,
Franco.

[Richard R Richard]

Buenas Richard,

Hola, como va,  veamos hago el planteo y tu las cuentas  a ver si llegamos a uno de los 5 posibles resultados

son tres las ecuaciones que tiene que plantearte, la segunda ley de Newton en 2 ejes y la sumatoria de momentos

sumatoria de las fuerzas en el eje x , si allí queremos que no se mueva, hacemos que la aceleración sea cero 
hay dos puntos de contacto con dos fuerzas de contacto normales en el piso  con subíndice 1 y en p con subíndice 2




\( \displaystyle \sum F_x=0=\mu N_1-N_2\cos 45° \)

lo mismo para el eje y

\( \displaystyle \sum F_y=0=-N_1-N_2\sin 45°+(m_e+m_h)g \)

la sumatoria  momento para el punto P por ejemplo  sentido horario positivo

\( \displaystyle \sum M=0=N_1L\cos45°+m_hg L\cos45°-m_e\color{blue}g\color{black}\dfrac L2 \cos 45°-\mu N_1L\sin45° \)

Si hay algún término  que no identificas de donde proviene hazmelo saber

te quedan 3 ecuaciones con tres incógnitas , \( N_1,\ N_2 , \ m_h \)

En el tiempo desde que publique el problema seguí trabajando, respecto a la 2da ley estamos iguales, solamente que elegí el eje x positivo hacia el otro lado pero no nos debería afectar.
El problema ahora esta en el torque... decidí medirlo desde el punto de contacto de la escalera con el suelo y me quedo así:

\( \dfrac{L}{2}m_eg\cdot \cos(45)+2L\cos(45)m_hg-LN_2=0 \)

Agrego: Ya que en la sumatoria de todos los torques la longitud L es común entre todos los términos, podríamos cancelarla y por lo tanto concluir que el dato del largo de la escalera esta de mas ¿Es correcto?.

¿Esto seria correcto? Lo hice así y no llegue al resultado (probablemente errores algebraicos).
Si este planteamiento del momento es correcto me dedicare a hacer las cuentas y ver a que llego nuevamente.

Saludos,
Franco.

Efectivamente  como todas las distancias son múltiplos de la longitud L, el dato está demás.


y tu cálculo de momentos debería aportar el mismo resultado que el mío , yo lo veo correcto...

[franma]

Buenas Richard,

Perfecto, me parece un poco mas simple  .
Me pondré manos a la obra para resolver el sistema y vuelvo con los resultados.

Saludos,
Franco.

[franma]

Buenas,

Termine de resolver el sistema (puedo dejar el desarrollo si gustan).
Cuando despeje \( m \) aproxime con cuentas ya que me dio un poco de pereza continuar simplificando la expresión
Llegue a \( m_h=70.09kg \) que se corresponde a la respuesta (b).

¿Están de acuerdo? ¿Alguien intento y consiguió otro resultado?

Si alguien quiere ingresarlo en un sistema de algebra computacional para confirmar también es bienvenido.

Agrego Trabajando un poco más con la expresión final llego a \( m_h=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{-m_e\cdot[0.8-2\mu]}{-\mu+1.6}\right)=70 \).

Saludos,
Franco.

[Richard R Richard]

Mi despeje llega a


\( m_h=m_e\dfrac{3\mu-1}{4}=70kg \)


respuesta b


Saludos

[franma]

Buenas Richard,

Llegamos a lo mismo  .
Muchas gracias por la ayuda como siempre.

Saludos,
Franco.