[africa]

Hola si me podéis ayudar en este ejercicio no acabo de entender bien, trace una matriz pero creo que no esta bien 

Se coloca un raton en el laberinto que se muestra a continuación y, cada minuto, se mueve de una
habitación a otra al azar. Una vez el raton esta en una habitación, el ratón escogerá una puerta
que le llevara a la habitación siguiente con probabilidades idénticas. Una vez el raton llega a la
habitación 1, encuentra comida  y nunca sale de esta habitación. Del mismo modo, cuando llega a la habitación
5, queda atrapado y no puede salir de esta habitación.

Matriz de transición entre la ubicación actual del ratón y la ubicación del ratón al cabo
de un minuto.

Gracias 

[geómetracat]

¿Qué es lo que no entiendes exactamente? ¿Tienes bien claro qué es la matriz de transición? Una vez tienes claro eso, el ejercicio debería resultar sencillo.

Recuerda que la matriz de transición es una matriz \[ P \] tal que \[ P_{ij} \] (el número en la fila \[ i \] y la columna \[ j \]) es la probabilidad de que, estando en el estado i, en el siguiente instante de tiempo (en tu caso, al siguiente minuto) esté en el estado \[ j \].
Una observación útil de cara a comprobar que lo has hecho bien es que las filas de la matriz siempre deben sumar \[ 1 \]. Esto es porque si estás en un estado \[ i \], en el siguiente instante de tiempo necesariamente estarás en algún estado.

Con esto claro, vamos a tu ejercicio. Aquí los estados corresponden a la habitación en la que esté el ratón. Si el ratón está en la habitación \[ 1 \], se quedará ahí para siempre. Por tanto, \[ P_{11}=1 \] y \[ P_{1j}=0 \] para \[ j=2,3,4,5 \]. Con esto tenemos la primera fila de la matriz.
Vamos a la segunda fila. En este caso, empezamos en la habitación \[ 2 \]. De ahí se puede llegar a las habitaciones \[ 1,4,5 \], y el enunciado dice que con igual probabilidad. Luego, \[ P_{21}=P_{24}=P_{25}=1/3 \] y \[ P_{22}=P_{23}=0 \]. Con esto ya tienes la segunda fila.

Intenta tú las filas que quedan y poner la matriz entera. Si tienes alguna dificultad pregunta de nuevo.

[Richard R Richard]

Hola geometracat, no tenía idea de lo que es una cadena de Markov, hasta que por simple curiosidad de aprender entre en este hilo.

solo quisiera aclararme un poco para que sirve  haber si lo entiendo .

al inicio la probabilidad de soltar el ratón en cualquier  habitación es equiprobable \( 0.2=\frac15 \)
luego de 1 minuto la probabilidad de hallarlo en cada una de las habitaciones depende  del producto de las columnas de la matriz \( M \), por un vector \( V_i  \) que es la probabilidad de lanzarlo en cada habitación.

luego de dos minutos se vuelve a repetir el proceso pero la probabilidad inicial es igual a la final del minuto anterior  asi

\( \vec P=M^n \cdot \vec V_i \)

Es correcto?

para contribuir con algo al Hilo y no desviarlo de  pregunta  original propongo la siguiente  Matriz 

\( M=\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\ \frac13&0&0&\frac13&\frac13\\ \frac12&0&0&\frac12&0\\ \frac14&\frac14&\frac14&0&\frac14\\0&0&0&0&1\end{pmatrix} \)


para \( n \) minutos después la probabilidad de hallar en cada habitación sale de


\( P=\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\ \frac13&0&0&\frac13&\frac13\\ \frac12&0&0&\frac12&0\\ \frac14&\frac14&\frac14&0&\frac14\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}^n\cdot\begin{pmatrix}\frac 15& \frac 15& \frac 15& \frac 15& \frac 15\end{pmatrix} \)

[geómetracat]

Hola geometracat, no tenía idea de lo que es una cadena de Markov, hasta que por simple curiosidad de aprender entre en este hilo.

solo quisiera aclararme un poco para que sirve  haber si lo entiendo .

Hola. Lo único básico que quizás necesites saber al margen de lo que puse, y lo que pones después, es la definición de cadena de Markov. Una cadena de Markov es un procesi estocástico discreto (una colección \[ (X_t) \] de variables aleatorias, con \[ t \in \Bbb N \], o más en general en algún conjunto discreto) que cumple la propiedad de Markov. La propiedad de Markov (que es la clave) dice que la probabilidad de pasar del estado \[ i \] a tiempo \[ t \] al estado \[ j \] a tiempo \[ t+1 \] depende exclusivamente de \[ i,j \] y no depende de la historia anterior, es decir, del estado en los tiempos \[ t-1,t-2, \] etc.
Formalmente, \[ P(X_{t+1}=j|X_t=i,X_{t-1}=i_{t-1},\dots, X_0=i_0)=P(X_{t+1}=j|X_t=i) \].
En cierta manera, una cadena de Markov es un proceso "sin memoria": solo tiene en cuenta el estado actual pero le da igual cómo ha llegado hasta ahí. Por eso la matriz de transición (junto con el vector de probabilidades iniciales, es decir, la distribución de \[ X_0 \]) te da toda la información necesaria para reconstruir el proceso.

al inicio la probabilidad de soltar el ratón en cualquier  habitación es equiprobable \( 0.2=\frac15 \)

Bueno, del enunciado no queda claro cuál es la  probabilidad del estado inicial. Podría ser como dices, o podrías soltarlo con probabilidad uno en una habitación concreta, o cualquier variación. Pero esto no afecta a la matriz de transición.

luego de 1 minuto la probabilidad de hallarlo en cada una de las habitaciones depende  del producto de las columnas de la matriz \( M \), por un vector \( V_i  \) que es la probabilidad de lanzarlo en cada habitación.

luego de dos minutos se vuelve a repetir el proceso pero la probabilidad inicial es igual a la final del minuto anterior  asi

\( \vec P=M^n \cdot \vec V_i \)

Es correcto?

Totalmente correcto

para contribuir con algo al Hilo y no desviarlo de  pregunta  original propongo la siguiente  Matriz 

\( M=\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\ \frac13&0&0&\frac13&\frac13\\ \frac12&0&0&\frac12&0\\ \frac14&\frac14&\frac14&0&\frac14\\0&0&0&0&1\end{pmatrix} \)


para \( n \) minutos después la probabilidad de hallar en cada habitación sale de


\( P=\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\ \frac13&0&0&\frac13&\frac13\\ \frac12&0&0&\frac12&0\\ \frac14&\frac14&\frac14&0&\frac14\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}^n\cdot\begin{pmatrix}\frac 15& \frac 15& \frac 15& \frac 15& \frac 15\end{pmatrix} \)

Perfecto.  Lo único una errata: el vector de la derecha debe ser columna, no fila el vector fila debe ir multiplicando por la izquierda y no por la derecha.

Corregido.

[Richard R Richard]

Muchisimas gracias por responder tan rápida y claramente

una errata: el vector de la derecha debe ser columna, no fila.

Puede ser por falta de costumbre, pero solo eso me desorienta, no debería ser la probabilidad de estar en una habitación número \( j \). la multiplicación de una fila en este caso \( (V_i \)) por una columna (la j esima) de \( M^n \) o , me equivoque y la matriz es la traspuesta multiplicada por el vector columna (álgebra la aprobé hace 30 años,)... Si es mucho lio  explicarlo dejalo ahí, así continúa el hilo @africa ...

[geómetracat]

Puede ser por falta de costumbre, pero solo eso me desorienta, no debería ser la probabilidad de estar en una habitación número \( j \). la multiplicación de una fila en este caso \( (V_i \)) por una columna (la j esima) de \( M^n \) o , me equivoque y la matriz es la traspuesta multiplicada por el vector columna (álgebra la aprobé hace 30 años,)... Si es mucho lio  explicarlo dejalo ahí, así continúa el hilo @africa ...

Perdón, me lié con las convenciones y te lo he dicho mal. Tal como está definida la matriz el vector debe ser fila, pero se multiplica por la izquierda de la matriz y no por la derecha (tal como lo pusiste el producto de matrices no tiene sentido, no cuadran las dimensiones).

[Richard R Richard]

:thumbs_up: 

[africa]

Gracias por la ayuda me quedo mucho mas claro, voy hacerlo ahora