[PedroAB]

Buenas!! He realizado hoy un examen y me he quedado con la duda de cuales serian las respuestas para esta pregunta.
Las preguntas serían:

\( f(x)=\begin{cases}{cos(x-1)}&\text{si}& x\leq 1\\\dfrac{sin(x-1)}{x-1} & \text{si}& x>1\end{cases},\qquad,\qquad g(x)=2-\sqrt[3]{x-2} \)

Para \( f(x) \) y \( g(x) \) decir si:
a) ¿Es continua en \( [0,2] \)?
b) ¿Es derivable en \( [0,2] \)?
c) ¿Es derivable en \( (0,2) \)?
d) ¿Cumple el Teorema de Rolle en \( [0,2] \)?

Muchas gracias por adelantado.
Mensaje corregido desde la administración.

[delmar]

Hola PedroAB

Bienvenido al foro

Es convenientes que leas las reglas del foro, los enunciados se digitan y las fórmulas se escriben en LATEX y es conveniente mostrar que se ha hecho por resolver el problema

Te ayudo con el apartado a)

Análisis de la función f(x) en [0,2]

En [0,1) la función x y la función constante 1 son continuas en consencuencia la función x-1 también es continua y por ser la función cos continua también la compuesta \( cos(x-1)=f(x) \)  es continua en [0,1)
En (1,2] la función x y la función constante 1 son continuas en consencuencia la función x-1 es continua, la función sen es continua en consecuencia la compuesta sen(x-1) es continua y el cociente también es decir \( \displaystyle\frac{sen(x-1)}{(x-1)}=f(x) \) es continua en (1,2].
En 1 se tiene \( f(1)=cos(1-1)=1 \) hay que averiguar si \( \displaystyle\lim_{x \to{}1}{f(x)}=f(1)=1 \)
Se determinan los límites laterales es decir \( \displaystyle\lim_{x \to{}1+}{f(x)} \) y \( \displaystyle\lim_{x \to{}1-}{f(x)} \) para que sea continua ambos límites han de ser iguales a 1. Averigua.


Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Un esbozo de lo restante.

 b)c) Comprueba que \( f(x) \) es derivable en \( [0,2] \). El único punto conflictivo es el \( x=1 \). Ahí será cllave que verifiques que:

\( \displaystyle\lim_{x \to 1^+}{}\dfrac{\frac{sin(x-1)}{x-1}-1}{x-1}=0 \)

 Comprueba que \( g(x) \) no es derivable en \( x=2 \), pero si en \( [0,2) \).

 Ninguna de las dos funciones cumple las hipótesis del Teorema de Rolle porque no coinciden sus valores en los extremos del intervalo, pero la función \( f(x) \) si cumple la tesis (su derivada se anula en un punto interior). La \( g(x) \) tampoco cumple la tesis.

Saludos.