[Max B.]

Hola, ¿Me podrían ayudar con la prueba de la equivalencia de esas tres proposiciones?
-No entiendo muy bien cómo probar que a) con b) y a)con c) son equivalentes. Sé que se hace por la definición de continuidad pero no sé como relacionar ambas implicancias.


Caracterización local de la continuidad. Sea \( f:X\to \Bbb R \) una función definida en un conjunto \( X\subset \Bbb R \) y sea \( x_0\in X \). Dado un intervalo abierto \( (a,b) \) que contiene al punto \( x_0 \), muestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) La función \( f:X\to \Bbb R \) es continua en \( x_0 \).
b) La restricción \( f:X\cap (a,b)\to \Bbb R \) es continua en \( x_0 \).
c) Las restricciones  \( f:X\cap (a,x_0]\to \Bbb R \) y  \( f:X\cap [x_0,b)\to \Bbb R \) son continuas en \( x_0 \).
Mensaje corregido desde la administración.

Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

[Masacroso]

Caracterización local de la continuidad. Sea \( f:X\to \Bbb R \) una función definida en un conjunto \( X\subset \Bbb R \) y sea \( x_0\in X \). Dado un intervalo abierto \( (a,b) \) que contiene al punto \( x_0 \), muestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) La función \( f:X\to \Bbb R \) es continua en \( x_0 \).
b) La restricción \( f:X\cap (a,b)\to \Bbb R \) es continua en \( x_0 \).
c) Las restricciones  \( f:X\cap (a,x_0]\to \Bbb R \) y  \( f:X\cap [x_0,b)\to \Bbb R \) son continuas en \( x_0 \).

Ayudarte sí, por supuesto, pero para eso necesitaría saber qué has intentado y que dudas específicas tienes, en qué implicación, etc.

[Luis Fuentes]

Hola

Caracterización local de la continuidad. Sea \( f:X\to \Bbb R \) una función definida en un conjunto \( X\subset \Bbb R \) y sea \( x_0\in X \). Dado un intervalo abierto \( (a,b) \) que contiene al punto \( x_0 \), muestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) La función \( f:X\to \Bbb R \) es continua en \( x_0 \).
b) La restricción \( f:X\cap (a,b)\to \Bbb R \) es continua en \( x_0 \).
c) Las restricciones  \( f:X\cap (a,x_0]\to \Bbb R \) y \( f:X\cap [x_0,b)\to \Bbb R \) son continuas en \( x_0 \).

Supongo que estás manejando la definición de continuidad epsilon-delta.

Alguna sugerencia. Prueba en general (es muy inmediato) que si tienes \( f:X\to \Bbb R \), \( Y\subset X \) y \( x_0\in Y \), entonces si \( f:X\to \Bbb R \) es continua en \( x_0\in X \), la restricción \( f|_Y:Y\to \Bbb R \) también es continua en \( x_0 \).

Con esto habrás probado a)\( \Rightarrow \)b) y b)\( \Rightarrow \)c).

Te faltaría c) \( \Rightarrow \)a). Pero supuesto c) y dado \( \epsilon>0 \) por la continuidad de las dos restricciones existem \( \delta_1,\delta_2 \) tales que:

si \( |x-x_0|<\delta_1 \) y \( x\in X\cap (a,x_0] \) entonces \( |f(x)-f(x_0)|<\epsilon \).
si \( |x-x_0|<\delta_2 \) y \( x\in X\cap [x_0,b) \) entonces \( |f(x)-f(x_0)|<\epsilon \).

Comprueba que tomando \( \delta=min\{\delta_1,\delta_2,x_0-a,b-x_0\} \) se tiene que:

si \( |x-x_0|<\delta \) y \( x\in X \) entonces \( |f(x)-f(x_0)|<\epsilon \).

Saludos.

[Max B.]

Te faltaría c) \( \Rightarrow \)a). Pero supuesto c) y dado \( \epsilon>0 \) por la continuidad de las dos restricciones existem \( \delta_1,\delta_2 \) tales que:

si \( |x-x_0|<\delta_1 \) y \( x\in X\cap (a,x_0] \) entonces \( |f(x)-f(x_0)|<\epsilon \).
si \( |x-x_0|<\delta_2 \) y \( x\in X\cap [x_0,b) \) entonces \( |f(x)-f(x_0)|<\epsilon \).

Comprueba que tomando \( \delta=min\{\delta_1,\delta_2,x_0-a,b-x_0\} \) se tiene que:

si \( |x-x_0|<\delta \) y \( x\in X \) entonces \( |f(x)-f(x_0)|<\epsilon \).

Saludos.

gracias, me ayudo a entender las primeras implicaciones pero la ultima ( c) \( \Rightarrow \)a) ), no comprendo muy bien por qué usar el \( \delta=min\{\delta_1,\delta_2,x_0-a,b-x_0\} \) en especifico el \( \delta={x_0-a} \) y \( \delta={b-x_0} \)

[Luis Fuentes]

Hola

gracias, me ayudo a entender las primeras implicaciones pero la ultima ( c) \( \Rightarrow \)a) ), no comprendo muy bien por qué usar el \( \delta=min\{\delta_1,\delta_2,x_0-a,b-x_0\} \) en especifico el \( \delta={x_0-a} \) y \( \delta={b-x_0} \)

Para que simplemente exigiendo que \( x\in X  \) y \( |x-x_0|<\delta \) se cumpla también que \( x\in (a,x_0] \) y \( x\in [x_0,b) \) y así poder aplicar la hipótesis.

Saludos.