Hola
a) Sea \( \{ x_n \} \) una sucesión de Cauchy en \( \mathbb{R} \). Demuestre que la sucesión \( \{ y_N \} \) dada por
\( y_N = \displaystyle\frac{1}{N} \displaystyle\sum_{i=1}^N{x_i} \)
es de Cauchy.
Una ayuda. Ten en cuenta que, si \( M<N \),
\( |Y_M-Y_N|=\left| \displaystyle\frac{1}{M}\displaystyle\sum_{i=1}^M{x_i}- \displaystyle\frac{1}{N} \displaystyle\sum_{i=1}^N{x_i}\right|=\left|\left(\displaystyle\frac{1}{M}-\dfrac{1}{N}\right)\displaystyle\sum_{i=1}^M{x_i}-\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum_{i=M+1}^N{x_i}\right| \)
mmmm...
... yo no lo veo tan inmediato como dice Masacroso. Es decir
si me quedo en el mundo de las sucesiones de Cauchy, no veo tan obvio como seguir.
Otra cosa es hacer esto.
Como \( \Bbb R \) es completo toda sucesión de Cauchy es convergente. Así que en realidad si probamos (b) tenemos probado (a).
Para (b):
\( |Y_N-\bar x|=\left| \displaystyle\frac{1}{N} \displaystyle\sum_{i=1}^N{x_i}-\bar x\right|=\left| \displaystyle\frac{1}{N} \displaystyle\sum_{i=1}^N(x_i-\bar x)\right| \)
Ahora fijado \( \epsilon \) existe un \( N_0 \) tal que si \( i\geq N_0 \) entonces \( |x_i-\bar x|<\epsilon \). De donde:
\( |Y_N-\bar x|\leq \dfrac{1}{N}\displaystyle\sum_{i=1}^{N_0}|x_i-\bar x|+\dfrac{N-N_0}{N}\epsilon \)
Para \( N \) suficientemente grande \( \dfrac{1}{N}\displaystyle\sum_{i=1}^{N_0}|x_i-\bar x|<\epsilon.
\)
Concluye.
Saludos.
