Hola.
Estoy un poco inseguro con este problema
$$Z$$ es un espacio de Hilbert con un producto escalar denotado por $$\left<{-,-}\right>$$. Entonces
toda forma lineal acotada en $$Z$$ es de forma $$\left<{-,-}\right>$$ para un $$z ∈ Z$$.
Creo que la declaración es correcta, dado que estamos en un espacio Hilbert, osea tenemos una norma y la forma lineal es acotada (Teorema de representación). Pero creo que esta argumentación es insuficiente.
Ademas no se si entiendo/he usado bien el teorema de representación
Saludos ^^
El teorema de representación de Riesz para funcionales lineales acotados te muestra que existe un isomorfismo entre \( V \) y \( V^* \) si \( V \) es un espacio de Hilbert y \( V^* \) el dual continuo, es decir, el espacio de funcionales lineales y acotados. Te dejo un par de demostraciones del mismo:
http://wittawat.com/posts/riesz_representation.htmlhttps://proofwiki.org/wiki/Riesz_Representation_Theorem_(Hilbert_Spaces)Nota: entiendo que por "forma lineal acotada" te refieres a un funcional lineal acotado, en ese caso por lo que preguntas es por el teorema de Riesz antes mencionado.
Pero si por "forma lineal acotada" te refirieses a un mapa lineal del tipo \( T:H\to \langle z \rangle \), donde \( \langle z\rangle \) es el subespacio vectorial generado por algún \( z\in H \), entonces se sigue un resultado semejante, ya que en este caso tendríamos que \( Te_k=c_k z \) para determinados \( c_k\in \mathbb{C} \) y una base ortonormal \( \{e_k\}_{k\in \Gamma } \) de \( H \), ahí observamos que el elemento \( z \) es superfluo, es decir, lo que realmente importa es el mapa funcional \( \tilde Te_k=c_k \) de donde se sigue del teorema de representación de Riesz que \( \tilde Tv=\langle v,w \rangle \) para algún \( w\in H \), y por tanto \( Tv=\langle v,w\rangle z \).
Edición: he cambiado algo la redacción para dejar una respuesta más clara.
