Hola. Efectivamente es una pregunta larga y me sumo a lo dicho por Masacroso.
Voy a restringirme a responder la parte de la gráfica de la función, porque creo que teniendo eso claro el resto puedes resolverlo fácilmente.
Primero dibujamos la gráfica de \( \cos(x) \). Sabemos que su amplitud es 1 y que su periodo es \( 2\pi \). Restringiéndonos al intervalo \( [0,2\pi] \), sabemos que alcanza su máximo en \( 0 \) y \( 2\pi \) (toma el valor \( 1 \)) y su mínimo lo alcanza en \( t=\pi \) (su valor es \( -1 \)). Además sabemos que es cero en \( \pi/2 \) y \( 3\pi/2 \). Con esto ya podemos hacer su gráfica (la azul):
Ahora analizamos la función \( \cos(2t) \). Sabemos que su periodo es \( 2\pi/2=\pi \), por lo que se dibuja en \( [0,\pi] \) y su gráfica en \( [\pi,2\pi] \) es la misma. Además \( -1\leq \cos(2t)\leq 1 \), por lo que amplitud también es 1. La gráfica es la que puse en morado en el gráfico anterior.
Ahora analizamos la función \( 900\cos(2t) \). La única diferencia con la gráfica de \( \cos(2t) \) es su amplitud, que ahora es 900, \( -900\leq 900\cos(2t)\leq 900 \). Nota que tiene los ceros y los máximos y mínimos en los mismos valores de \( t \) que \( \cos(2t) \), y su periodo será el mismo: \( \pi \). La gráfica de \( 900\cos(2t) \) es la siguiente:
Por último, la función \( 900\cos(2t)+8000 \) es la misma que la anterior, sólo que a cada ordenada le estás sumando 8000. Por eso su periodo seguirá siendo \( pi \), pero ahora su máximo es \( 900+8000=8900 \) y su mínimo es \( 8000-900=7100 \). La gráfica es la siguiente:
Con esta información clara ya puedes continuar analizando el ejercicio.
P.D.- Si ya habías estudiado la
función sinusoidel podrías haber aplicado directamente los resultados sin necesidad de los pasos intermedios que expliqué. Pero como puedes ver, a partir de lo básico que sabemos de la función coseno bastaba para poder analizar la función.
- Otra forma podría haber sido utilizar criterios de la primera y segunda derivadas para hallar máximos y mínimos de la función (además de intervalos de crecimiento y concavidad para dibujar su gráfica). Es una opción sencilla también.
- Verás que modifiqué el título de tu mensaje (originalmente lo habías titulado "función"). En el futuro, elige un título más descriptivo para cada mensaje para que el que lea el título pueda saber de qué trata.
