[Asdfgh]

Buenas tardes.

Necesito ayuda para calcular la siguiente integral doble.

\[ \int_{y=0}^4 \int_{x=0}^y x\cdot \sqrt{x^2+y^2} \ dx \ dy \]

Gracias por la ayuda.

[Juan Pablo Sancho]

Haz el cambio \( x = y \cdot \tan(\theta)  \) con \( \theta \in [0,\dfrac{\pi}{4}]  \)

[Abdulai]

Fijate que la integral respecto de \( x \) es inmediata:  \( \displaystyle\int_{0}^{y}x\displaystyle\sqrt{x^2+y^2}dx = \left. \frac{1}{3}\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}\right|_0^y  = \frac{1}{3}( 2^{\frac{3}{2}}-1)y^3 \)

[Asdfgh]

Que cambio de variable realizas? Siento que no veo lo de inmediata 

Fijate que la integral respecto de \( x \) es inmediata:  \( \displaystyle\int_{0}^{y}x\displaystyle\sqrt{x^2+y^2}dx = \left. \frac{1}{3}\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}\right|_0^y  = \frac{1}{3}( 2^{\frac{3}{2}}-1)y^3 \)

[Abdulai]

Que cambio de variable realizas? Siento que no veo lo de inmediata 

Fijate que la integral respecto de \( x \) es inmediata:  \( \displaystyle\int_{0}^{y}x\displaystyle\sqrt{x^2+y^2}dx = \left. \frac{1}{3}\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}\right|_0^y  = \frac{1}{3}( 2^{\frac{3}{2}}-1)y^3 \)

\( u = x^2\;\;\longrightarrow\;\;du = 2x\,dx \)

\( \displaystyle\int \displaystyle\sqrt{x^2+y^2}\; x\,dx = \frac{1}{2}\displaystyle\int \displaystyle\sqrt{u+y^2}\,du = \frac{1}{3}(u+y^2 )^{\frac{3}{2}} \)
\( \therefore\quad\frac{1}{3}(x^2+y^2 )^{\frac{3}{2}} \)


Lo de "inmediata" pasa por ver que tenés una expresión del tipo \( g'(t)F(g(t)) \)  teniendo \( F(u) \)  una integral inmediata

[Asdfgh]

Muchísimas gracias, muy amable!!

Que cambio de variable realizas? Siento que no veo lo de inmediata 

Fijate que la integral respecto de \( x \) es inmediata:  \( \displaystyle\int_{0}^{y}x\displaystyle\sqrt{x^2+y^2}dx = \left. \frac{1}{3}\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}\right|_0^y  = \frac{1}{3}( 2^{\frac{3}{2}}-1)y^3 \)

\( u = x^2\;\;\longrightarrow\;\;du = 2x\,dx \)

\( \displaystyle\int \displaystyle\sqrt{x^2+y^2}\; x\,dx = \frac{1}{2}\displaystyle\int \displaystyle\sqrt{u+y^2}\,du = \frac{1}{3}(u+y^2 )^{\frac{3}{2}} \)
\( \therefore\quad\frac{1}{3}(x^2+y^2 )^{\frac{3}{2}} \)


Lo de "inmediata" pasa por ver que tenés una expresión del tipo \( g'(t)F(g(t)) \)  teniendo \( F(u) \)  una integral inmediata