[Chocolate]

Buenas 

Si tengo una sequencia de vectores $$x_1,x_2,x_3\ldots$$ en el  \( \Bbb R^n \), con valor absoluto $$|x_n|$$ <1 para todos los n,
esa sequencia tiene una subsequencia convergente?


Creo que es posible que la subsequencia alterne entre 1 y 0, por el valor absoluto. Y en teoria eso significa, que la subsequencia no es convergente.
Aunque estoy seguro que Bolzano-Weierstrass dice que cada sequencia cerrada tiene una subsequencia convergente.



Saludos

[Masacroso]

Buenas 

Si tengo una sequencia de vectores $$x_1,x_2,x_3\ldots$$ en el  \( \Bbb R^n \), con valor absoluto $$|x_n|$$ <1 para todos los n,
esa sequencia tiene una subsequencia convergente?


Creo que es posible que la subsequencia alterne entre 1 y 0, por el valor absoluto. Y en teoria eso significa, que la subsequencia no es convergente.
Aunque estoy seguro que Bolzano-Weierstrass dice que cada sequencia cerrada tiene una subsequencia convergente.



Saludos

La sucesión \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) tal que \( |x_n|<1 \) es una sucesión contenida en la bola cerrada alrededor del cero de radio uno, la cual es un conjunto compacto cuando el espacio en cuestión tiene dimensión finita (como en este caso), por tanto \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) tiene al menos una subsucesión convergente, que converge en tal bola cerrada.

Añado: una demostración más directa es primero buscar una subsucesión de \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) en la cual la primera coordenada converja a algún valor real. Esto es posible ya que si \( \|(a_1,\ldots ,a_n)\|_2<1 \) entonces \( |a_1|<1 \), y por tanto la sucesión de las primeras coordenadas está acotada en \( [-1,1] \) y por tanto tiene una subsucesión convergente, como seguramente ya sabrás. Una vez obtenida esa subsucesión de tal subsucesión buscamos una sub-subsucesión en la que la segunda coordenada converja, etc... hasta definir una subsucesión de la original en la que cada coordenada converja, y por tanto la subsucesión en sí converge.

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas 

Si tengo una sequencia de vectores $$x_1,x_2,x_3\ldots$$ en el  \( \Bbb R^n \), con valor absoluto $$|x_n|$$ <1 para todos los n,
esa sequencia tiene una subsequencia convergente?

Si. La sucesión está contenida en el compacto \( \{x\in \Bbb R^n||x|\leq 1\} \) y por el Teorema de Bolzano-Weierstrass tiene una subsucesión convergente.

Creo que es posible que la subsequencia alterne entre 1 y 0, por el valor absoluto. Y en teoria eso significa, que la subsequencia no es convergente.
Aunque estoy seguro que Bolzano-Weierstrass dice que cada sequencia cerrada tiene una subsequencia convergente.

Que tenga una subsucesión convergente, no impide que tenga otras subsucesiones que NO convergen (una alterna como la que dices u otras).

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Es lo que puso Masacroso, lo pongo en spoiler

Spoiler

Tienes la secuencia \( \{x_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) de vectores en \( \mathbb{R}^n  \).
Tomamos la primera coordenada de la secuencia \( \{ x_{i_1} \}_{i=1}^{+\infty} \) que es una sucesión de numeros reales acotada luego por el torema de Bolzano_Weierstrass exite una subsecuancia \( \{x_{{k_i}_1}\}_{i=1}^{+\infty}  \) convergente.
Tomamos la segunda coordenada del la secuncia \( \{x_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) y aplicamos la subsecuencia acaba de encontrar \( \{x_{{k_i}_2}\}  \) como es acotada tiene una subsecuencia convergente, y así reiteradamente hasta la última coordenada, la subsecuencia general sera la de la última coordenada.

[cerrar]

[Chocolate]

Buenas 

Si tengo una sequencia de vectores $$x_1,x_2,x_3\ldots$$ en el  \( \Bbb R^n \), con valor absoluto $$|x_n|$$ <1 para todos los n,
esa sequencia tiene una subsequencia convergente?


Creo que es posible que la subsequencia alterne entre 1 y 0, por el valor absoluto. Y en teoria eso significa, que la subsequencia no es convergente.
Aunque estoy seguro que Bolzano-Weierstrass dice que cada sequencia cerrada tiene una subsequencia convergente.



Saludos

La sucesión \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) tal que \( |x_n|<1 \) es una sucesión contenida en la bola cerrada alrededor del cero de radio uno, la cual es un conjunto compacto cuando el espacio en cuestión tiene dimensión finita (como en este caso), por tanto \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) tiene al menos una subsucesión convergente, que converge en tal bola cerrada.

Añado: una demostración más directa es primero buscar una subsucesión de \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) en la cual la primera coordenada converja a algún valor real. Esto es posible ya que si \( \|(a_1,\ldots ,a_n)\|_2<1 \) entonces \( |a_1|<1 \), y por tanto la sucesión de las primeras coordenadas está acotada en \( [-1,1] \) y por tanto tiene una subsucesión convergente, como seguramente ya sabrás. Una vez obtenida esa subsucesión de tal subsucesión buscamos uns sub-subsucesión en la que la segunda coordenada converja, etc... hasta definir una subsucesión de la original en la que cada coordenada converja, y por tanto la subsucesión en sí converge.

Ahh vale gracias.
Pero tengo una duda:
 Y si el valor absoluto fuese igual o menor a 1 en teoria no cambiaria nada, verdad?

[Chocolate]

Hola

Buenas 

Si tengo una sequencia de vectores $$x_1,x_2,x_3\ldots$$ en el  \( \Bbb R^n \), con valor absoluto $$|x_n|$$ <1 para todos los n,
esa sequencia tiene una subsequencia convergente?

Si. La sucesión está contenida en el compacto \( \{x\in \Bbb R^n||x|\leq 1\} \) y por el Teorema de Bolzano-Weierstrass tiene una subsucesión convergente.

Creo que es posible que la subsequencia alterne entre 1 y 0, por el valor absoluto. Y en teoria eso significa, que la subsequencia no es convergente.
Aunque estoy seguro que Bolzano-Weierstrass dice que cada sequencia cerrada tiene una subsequencia convergente.

Que tenga una subsucesión convergente, no impide que tenga otras subsucesiones que NO convergen (una alterna como la que dices u otras).

Saludos.

Jaja, vale esto ya responde mi segunda duda, gracias
Ahh claro, solo porque una converge, no significa que las otras no.

[Masacroso]

Ahh vale gracias.
Pero tengo una duda:
 Y si el valor absoluto fuese igual o menor a 1 en teoria no cambiaria nada, verdad?

No, no cambiaría nada en el sentido de que siempre ibas a tener una subsucesión convergente.

Lo único que pasa es que si tienes una sucesión de vectores \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) acotada tal que \( \|x_n\|_2< c \) para algún \( c>0 \) entonces es posible que la subsucesión convergente que encuentres converja a un vector \( x \) tal que \( \|x\|_2=c \), es decir que aunque la sucesión \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) esté contenida dentro de la bola abierta \( \mathbb{B}(0,c) \) alguna subsucesión convergente pude converger fuera de la bola, que es justamente debido a que la bola no es cerrada sino abierta.

[Chocolate]

Ahh vale gracias.
Pero tengo una duda:
 Y si el valor absoluto fuese igual o menor a 1 en teoria no cambiaria nada, verdad?

No, no cambiaría nada en el sentido de que siempre ibas a tener una subsucesión convergente.

Lo único que pasa es que si tienes una sucesión de vectores \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) acotada tal que \( \|x_n\|_2< c \) para algún \( c>0 \) entonces es posible que la subsucesión convergente que encuentres converja a un vector \( x \) tal que \( \|x\|_2=c \), es decir que aunque la sucesión \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) esté contenida dentro de la bola abierta \( \mathbb{B}(0,c) \) alguna subsucesión convergente pude converger fuera de la bola, que es justamente debido a que la bola no es cerrada sino abierta.

Gracias