Buenas,
El enunciado dice lo siguiente:
Un carretel de hilo (disco de masa \( M \) y radio \( R \)) está unido a un resorte de constante elástica \( k \) y, a través de una polea ideal a una masa \( m \) que cuelga como se muestra en la figura. Inicialmente el resorte está comprimido una distancia \( d \) y el sistema está en reposo. Luego, se libera el sistema y el carretel comienza a rodar sin deslizar. ¿Cuál será la velocidad del centro de masa del carretel cuando el resorte no está ni estirado ni comprimido?
Realice lo siguiente:
Elegí como punto para que la energía potencial gravitatoria sea 0 una distancia \( d \) debajo de la masa que cuelga (lo ilustre en el dibujo).
\( E_i=\dfrac{kd^2}{2} + mgd \) (No incluí la energía gravitatoria del carretel ya que al no cambiar su altura en la diferencia de energías se cancelara).
\( E_f=\dfrac{I\omega^2}{2}+\dfrac{Mv^2}{2}+\dfrac{mv^2}{2} \)
Si no me equivoco la velocidad del centro de masa y la tangencial deberían ser la misma ya que la condición de rodadura sin deslizar es: \( V_{cm}=\underbrace{\omega R}_{V_t} \).
Igualo las energías:
\( \dfrac{kd^2}{2} + mgd = \dfrac{I\omega^2}{2}+\dfrac{Mv^2}{2}+\dfrac{mv^2}{2} \)
\( kd^2 + 2mgd = I\omega^2+Mv^2+mv^2 \)
\( kd^2 + 2mgd = \dfrac{M\cancel{R^2}}{2}\dfrac{v^2}{\cancel{R^2}}+Mv^2+mv^2 \)
\( kd^2 + 2mgd = v^2(\dfrac{M}{2} + M + m) \)
\( 2kd^2 + 4mgd = v^2(3M + 2m) \)
\( \sqrt{\dfrac{2kd^2 + 4mgd}{3M + 2m}} = v \)
Sin embargo la respuesta de las soluciones es \( v=\sqrt{\dfrac{2kd^2+8mgd}{3M+8m}} \)
No logro encontrar donde me equivoque, si alguien me puede decir donde o ayudarme para llegar a la solución estaría muy agradecido.
Saludos,
Franco.
