Usando coordenadas esféricas la integral te queda
\( \displaystyle{
\int_{A}r^2\sin \beta \mathop{}\!d (r,\alpha ,\beta ),\quad A=\{(r,\alpha ,\beta ):r|\sin \beta |\leqslant r \cos \beta \leqslant 4\}
} \)
De la condición que define \( A \) vemos que \( \beta\in [0,\pi/2] \) ya que si \( \beta >\pi/2 \) entonces \( \cos \beta <0 \). Por otra parte la desigualdad \( |\sin \beta |\leqslant \cos \beta \) reduce el rango anterior a \( [0,\pi/4] \), y éste parece ser el rango máximo para \( \beta \).
A partir del rango anterior de \( \beta \) definimos el rango de valores posibles para \( r \), ya que se tiene que cumplir que \( r\leqslant 4\sec \beta \), por tanto la integral nos queda como
\( \displaystyle{
\int_{A}r^2\sin \beta \mathop{}\!d (r,\alpha ,\beta )=2\pi\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{4\sec \beta }r^2 \sin \beta \mathop{}\!d r\mathop{}\!d \beta =\frac{2\pi\cdot 4^3}3\int_{0}^{\pi/4}\frac{\sin \beta }{(\cos \beta )^3}\mathop{}\!d \beta \\
=\frac{128\pi}{3}\int_{0}^{\pi/4}\tan \beta (\tan \beta )'\mathop{}\!d \beta =\frac{64\pi}{3}\left[(\tan \beta )^2\right]^{\beta =\pi/4}_{\beta =0}=\frac{64\pi}3
} \)
