[cristianoceli]

Hola tengo problemas con este ejercicio

Consideremos el grupo de matrices  \( G= \left\{ \begin{pmatrix}{1}&{0}\\{x}&{a}\end{pmatrix} : x \in \mathbb{Z} /7 \mathbb{Z}, a \in (\mathbb{Z} /7 \mathbb{Z})^\times{}\right \}   \)

a) Encuentre \( n_7(G) \) y un 7-subgrupo de \( Sylow \) de  \( G \)
b) Encuentre \( n_3(G) \) y un 3-subgrupo de \( Sylow  \) de  \( G \)

Basicamente no se como encontrarlo pero se me ocurre que primero deo encontrar un 3-subgrupo y luego conjugar.


Saludos

[geómetracat]

Un camino sin usar teoremas de Sylow. Usando los teoremas de Sylow es bastante directo ver que debe ser \[ n_7(G)=1 \] y que \[ n_3(G) \] es \[ 1 \] o \[ 7 \], pero no veo ningún argumento para decidir este último caso sin "ensuciarse las manos".

Primero observa que como \[ \Bbb Z/7 \Bbb Z \] tiene orden \[ 7 \] y \[ (\Bbb Z/7 \Bbb Z)^* \] orden \[ 6 \], \[ G \] tiene orden \[ 42=6\cdot7 = 2\cdot 3 \cdot 7 \]. Luego un \[ 3 \]-Sylow tiene orden $$3$$ y un $$7$$-Sylow orden $$7$$. Como los grupos de orden \[ 3 \] y \[ 7 \] son cíclicos, basta con encontrar un generador para caracterizar el subgrupo.

Ahora, fíjate que se tiene:
$$\begin{pmatrix}{1}&{0}\\{x}&{a}\end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix}{1}&{0}\\{(1+a+a^2+\dots + a^{n-1}
)x}&{a^n}\end{pmatrix}$$
Por tanto, buscar un elemento de orden \[ 3 \] es equivalente a buscar $$a \in (\Bbb Z/3 \Bbb Z)^*, x \in \Bbb Z/3\Bbb Z$$ que cumplan $$a^3=1, (1+a+a^2)x=0$$ (distintos del neutro que corresponde a \[ a=1,x=0 \], claro).

El mismo tipo de argumento para los $$7$$-Sylow.

[cristianoceli]

Un camino sin usar teoremas de Sylow. Usando los teoremas de Sylow es bastante directo ver que debe ser \[ n_7(G)=1 \] y que \[ n_3(G) \] es \[ 1 \] o \[ 7 \], pero no veo ningún argumento para decidir este último caso sin "ensuciarse las manos".

Primero observa que como \[ \Bbb Z/7 \Bbb Z \] tiene orden \[ 7 \] y \[ (\Bbb Z/7 \Bbb Z)^* \] orden \[ 6 \], \[ G \] tiene orden \[ 42=6\cdot7 = 2\cdot 3 \cdot 7 \]. Luego un \[ 3 \]-Sylow tiene orden $$3$$ y un $$7$$-Sylow orden $$7$$. Como los grupos de orden \[ 3 \] y \[ 7 \] son cíclicos, basta con encontrar un generador para caracterizar el subgrupo.

Ahora, fíjate que se tiene:
$$\begin{pmatrix}{1}&{0}\\{x}&{a}\end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix}{1}&{0}\\{(1+a+a^2+\dots + a^{n-1}
)x}&{a^n}\end{pmatrix}$$
Por tanto, buscar un elemento de orden \[ 3 \] es equivalente a buscar $$a \in (\Bbb Z/3 \Bbb Z)^*, x \in \Bbb Z/3\Bbb Z$$ que cumplan $$a^3=1, (1+a+a^2)x=0$$ (distintos del neutro que corresponde a \[ a=1,x=0 \], claro).

El mismo tipo de argumento para los $$7$$-Sylow.

Muy claro muchas gracias.


Saludos