[Albert Newton]

Buenas,

mi grupo de mates y yo estamos teniendo problemas con conjuntos compactos. Debemos demostrar si un conjunto es compacto o no lo es.

Observamos el espacio métrico \( (X,d) \) en el \( \Bbb R^2 \) con la metrica estandar

Conjunto 1: \( C=\{(a,b)\in \Bbb R^2:a^4+b^4<1\} \)


Como no estaba seguro por donde empezar me puse a leer un libro de Analysis 2.He leido sobre el teorema de Heine-Borel. Dice que si puedo demostrar que un conjunto es cerrado y acotado automaicamente he demostrado que tambien es compacto.

Creo que el estar cerrado esta dado, considerando que estamos en el \( \Bbb R^2 \).

Pero no se como se demuestra que es compacto. Alguien tiene algun consejo?

Saludos
Mensaje corregido desde la administración.

Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

[geómetracat]

El teorema de Heine-Borel funciona en \[ \Bbb R^n \], pero no en cualquier espacio métrico. Lo digo para que tengas cuidado si te piden decir si un conjunto es compacto o no en espacios métricos "raros".

El conjunto que propones no es cerrado, y por tanto tampoco es compacto.

Para ver que no es cerrado, observa que \[ (1,0) \] es punto de acumulación de \[ C \], pero sin embargo no pertenece a \[ C \].
De hecho, típicamente cuando te dan un conjunto definido por desigualdades estrictas, como es el caso, será abierto y no cerrado (esto no es una regla universal, hay que demostrarlo en cada caso, pero sirve para tener una primera idea).

[Albert Newton]

El teorema de Heine-Borel funciona en \[ \Bbb R^n \], pero no en cualquier espacio métrico. Lo digo para que tengas cuidado si te piden decir si un conjunto es compacto o no en espacios métricos "raros".

El conjunto que propones no es cerrado, y por tanto tampoco es compacto.

Para ver que no es cerrado, observa que \[ (1,0) \] es punto de acumulación de \[ C \], pero sin embargo no pertenece a \[ C \].
De hecho, típicamente cuando te dan un conjunto definido por desigualdades estrictas, como es el caso, será abierto y no cerrado (esto no es una regla universal, hay que demostrarlo en cada caso, pero sirve para tener una primera idea).

Ahh vale, pues estare mas atento a los espacios métricos que me den.
Gracias por la ayuda, no estaba seguro si podia argumentar con (1,0) ^^