[Soofiaa]

Dados tres valores reales \( a, b, c \) tales que \( c < a < b \), se define la función \( f:\mathbb{R} \rightarrow{\mathbb{R} } \) dada por \( f(x)=(x-b)(x-c) \) cuando \( x<a \) y \( f(x)=-(x-a)(x-b) \) cuando \( x\geq{a} \)

Encuentre
i) \( f([0,a[) \)
ii) \( f([a- \epsilon, a + \epsilon]) \) para \( \epsilon > 0 \)
iii) \( f(]c,a[) \)
iv) \( f^{-1}(]0,(\frac{b-a}{2})^{2}[) \)
v) \( f^{-1}(](a-b)(a-c),0[) \)
vi) \( f^{-1}(]-\infty , (a-b)(a-c)[) \)
________________________

Buen día, me podrían echar una mano para plantear esto? no estoy acostumbrada a este tipo de notación por intervalos de funciones, pero de momento se me ocurre hacer un gráfico "a pedazos" de 2 cuadráticas e ir analizando, pero ahí quedo.

Gracias de antemano,

Un saludo cordial

[Luis Fuentes]

Hola

Dados tres valores reales \( a, b, c \) tales que \( c < a < b \), se define la función \( f:\mathbb{R} \rightarrow{\mathbb{R} } \) dada por \( f(x)=(x-b)(x-c) \) cuando \( x<a \) y \( f(x)=-(x-a)(x-b) \) cuando \( x\geq{a} \)

Encuentre
i) \( f([0,a[) \)
ii) \( f([a- \epsilon, a + \epsilon]) \) para \( \epsilon > 0 \)
iii) \( f(]c,a[) \)
iv) \( f^{-1}(]0,(\frac{b-a}{2})^{2}[) \)
v) \( f^{-1}(](a-b)(a-c),0[) \)
vi) \( f^{-1}(]-\infty , (a-b)(a-c)[) \)
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Te puede ayudar este gráfico. Puedes mover los puntos \( A,B,C \) cuyas abcisas son respectivamente \( a,b,c \).


Observa que en primer tramo de la función hay un cambio cualitativo de propiedades dependiendo de si \( A \) supera o no el punto medio \( M \) de \( B \) y \( C \).

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Muchas gracias, me quedó clarísimo con las primeras 3, lo que si, si no es mucha molestia, ¿me podría orientar con las de función inversa? Me quedan funciones por tramos, pero no estoy segura realmente de lo que hago, un saludo! y gracias nuevamente

Por ejemplo, \( f^{-1}\left(\left(0,\left(\dfrac{b-a}{2}\right)^2\right)\right) \) son los puntos cuya imagen está en el intervalo\(  \left(0,\left(\dfrac{b-a}{2}\right)^2\right) \).

Cuando haces este cálculo en una función a trozos, la idea es hallar esos puntos para cada trozo e intersecar con el dominio del mismo.

Es decir, en tu caso, si llamas \( f_1(x)=(x-b)(x-c) \) y \( f_2(x)=-(x-a)(x-b) \), tienes que:

\( f^{-1}(A)=f_1^{-1}(A)\cap (-\infty,a)\cup f_2^{-1}(A)\cap [a,+\infty) \)

Entonces vamos con la función \( f_1(x)=(x-b)(x-c) \). Toma valores positivos cuando \( x> b \) ó \( x<c \). Dado que el dominio de \( f_1 \) es \( (-\infty,a) \) y \( c<a<b \) se tiene que es positivo para \( x<c \).

Por otro lado para ver cuando \( f_1(x)<(b-a)^2/2 \) resuelve \( (x-b)(x-c)=(b-a)^2/2 \). Encontrarás dos soluciones \( x_1,x_2 \). La desigualdad se cumple para \( x_1<x<x_2 \) y sólo \( x_1<c<a \).

Conclusión: \( f_1^{-1}(A)\cap (-\infty,a)=(x_1,c) \).

En cuanto al otro trozo. Nota que \( (b-a)^2/2 \) es el máximo de la función \( f_2(x)=-(x-a)(x-b) \). Por tanto \( f_2(x)\in  \left(0,\left(\dfrac{b-a}{2}\right)^2\right) \) justo entre las dos raíces de \( f_2 \), que son \( a \) y \( b \).

En definitiva:

\( f^{-1}\left(\left(0,\left(\dfrac{b-a}{2}\right)^2\right)\right)=(x_1,c)\cup (a,b) \)

donde \( x_1 \) es la raíz más pequeña de \( (x-b)(x-c)=(b-a)^2/2 \).

Saludos.