Sea\( f_n : [0,1] \longrightarrow{} \mathbb{R} \) una sucesion de funciones continuas de modo que \( f_n \)es Riemann integrable en \( [0, 1] \): Suponga que para todo \( n \in \mathbb{N} \) se tiene \( | {f_n}^{\prime}(t) | \leq{} t ^{-1/2} \) para todo \( t \) y \( \displaystyle\int_{0}^{1} f_n (t) dt =0 \). Muestre que \( \{ f_n \} \)posee una subsucesión que converge uniformemente en\( [0, 1] \).
Lo que he hecho:
Para mostrar que la sucesión es acotada:
\( \displaystyle f_n(t) = f_n(0) + \int\limits_0^t f_n' \)
y note que:
\( \left|\int\limits_0^t f_n'\right| \leq 2\sqrt{t} \leq 2. \)
Si la sucesión \( f_n(0) \)no es acotada , entonces poseería una subsucesión tal que \( f_{n_k}(0) > 2k \) y entonces \( f_{n_k}(t) > 2k - 2 = 2(k-1) \)y esto violaría la hipótesis de que la integral de cada \( f_n \) es cero.
Por Teorema fundamental del calculo:
\( |f_n(y) - f_n(x)| \leq 2 \left| \sqrt{y} - \sqrt{x} \right|, \)
y dado que la raíz cuadrada es una función continua y \( [0,1] \)es compacta, por teorema de Cantor para concluimos que esta función es uniformemente continua en \( [0,1] \).
Pero no se como aplicar el Teorema de Ascoli para concluir el ejercicio
Saludos
