Hola
queria preguntar cómo se puede demostrar que la bola unitaria abierta tiene como cerradura la bola unitaria cerrada, usando la metrica euclidiana.
https://es.other.wiki/wiki/Unit_sphere
La definición de la bola la entiendo, pero no estoy seguro cómo usar la métrica euclidiana.
Si no fuera por la metrica euclidiana argumentaria que,:
- sabemos que la cerradura es el límite superior más pequeño de un conjunto
- Si la bola cerrada tiene como metrica d(y,0) =<1 y la abierta <1, hay un elemento en la bola cerrada, que actua como una cerradura para los elementos de la bola abierta.
Alomejor debo demostrar que el interior de la bola cerrada es la bola abierta, pero tampoco estoy seguro como hacer eso la verdad.
Llamo \( B(0,1) \) y \( B[0,1] \) respectivamente a las bolas unitarias abierta y cerrada.
Tienes que probar:
1) Que si \( x \) es un punto fuera de \( B[0,1] \) entonces no está en la clausura de \( B(0,1) \). Equivalentemente que puedes tomar \( B(x,r) \) tal que \( B(x,r)\cap B(0,1)=\emptyset \).
Comprueba que esto funciona si tomas \( r=d(x,0)-1 \). Además de las cuentas si haces un dibujo verás que esto tiene perfecto sentido.
2) Que si \( x \) es un punto en \( B[0,1] \) entonces si está en la clausura de \( B(0,1) \). Si \( \|x\|<1 \) es evidente; así que basta centrarse en los puntos con \( \|x\|=1 \). Para ellos tienes que probar que toda bola \( B(x,r) \) corta a \( B(0,1) \).
Pero ten en cuenta que si tomas \( y_n=\left(1-\dfrac{2}{n}\right)x \), se tiene que \( y_n\in B(x,1/n) \) e \( y_n\in B(0,1) \).
Saludos.
