[cristianoceli]

Hola tengo dudas con este ejercicio:

Consideremos el espacio métrico \( \mathbb{Q} \) de números racionales con la distancia Euclidiana. Pruebe que

$$K= \{ x\in \mathbb{Q} |  0 \leq{x} \leq{\sqrt[ ]{2}} \}$$

Es cerrado acotado pero no compacto.

Según lo que veo que es cerrado y acotado e scasi inmediato pero no logro demostrar que sea compacto. Tengo entendido que es compacto si todo recubrimiento admite un recubrimiento finito

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Consideremos el espacio métrico \( \mathbb{Q} \) de números racionales con la distancia Euclidiana. Pruebe que

$$K= \{ x\in \mathbb{Q} |  0 \leq{x} \leq{\sqrt[ ]{2}} \}$$

Es cerrado acotado pero no compacto.

Según lo que veo que es cerrado y acotado e scasi inmediato pero no logro demostrar que sea compacto. Tengo entendido que es compacto si todo recubrimiento admite un recubrimiento finito

Para ver que NO es compacto basta que muestres un recubrimiento por abiertos del cuál no puedas extraer un subrecubrimiento finito.

Toma por ejemplo \( U_n= \{ x\in \mathbb{Q} |  0 <x< \sqrt[ ]{2}-\dfrac{1}{n} \} \); prueba que son abiertos, que recubren \( K \) y que no puedes extraer un subrecubrimiento finito.

Saludos.