[Quarkbite]

Hola

      En un problema que estoy tratando tengo que demostrar que los valores de \( x \) para los cuales las funciones \( f(n_1),f(n_2),f(n_3),f(n_4) \) no tienen solución son infinitos.
Es algo como:

\(    x=f(n_1) \)
\(    x=f(n_2) \)
\(    x=f(n_3) \)
\(    x=f(n_4) \)

Para \( x=1 \), \( f(n_1) \) no existe solución, \( f(n_2) \) tiene solución en \( n=1 \), \( f(n_3) \) no existe solución, \( f(n_4)  \)no existe solución

¿Qué apartado de las matemáticas trata las soluciones o no soluciones de un "sistema"?.
Es un sistema para el que ciertos valores de x tienen solución en las 4 funciones, otros valores en los que solo alguna de las funciones tiene soluciones y otros valores para los que ninguna función tiene solución.
Las funciones son del tipo \( F(n_1)=3n+2 \) y se limita a soluciones de números naturales.

[robinlambada]

Hola Quarkbite, bienvenido al foro.

Hola

      En un problema que estoy tratando tengo que demostrar que los valores de x para los cuales las funciones f(n1),f(n2),f(n3),f(n4) no tienen solución son infinitos.
Es algo como:

   x=f(n1)
   x=f(n2)
   x=f(n3)
   x=f(n4)

Para x=1, f(n1) no existe solución, f(n2) tiene solución en n=1, f(n3) no existe solución, f(n4) no existe solución

¿Qué apartado de las matemáticas trata las soluciones o no soluciones de un "sistema"?.
Es un sistema para el que ciertos valores de x tienen solución en las 4 funciones, otros valores en los que solo alguna de las funciones tiene soluciones y otros valores para los que ninguna función tiene solución.
Las funciones son del tipo F(n1)=3n+2 y se limita a soluciones de números naturales.

Recuerda seguir y respetar las normas del foro, en particular que debes escribir las fórmulas usando \( LaTeX \)

Respecto a tu pregunta, no me queda clara.

Pero el teorema que estudia los sistemas de ecuaciones si estos son lineales es el teorema de Rouché-Frobenius

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Te hemos corregido el mensaje desde la administración.

 Por favor en lo sucesivo haz caso de las indicaciones que te ha dado robinlambada.

      En un problema que estoy tratando tengo que demostrar que los valores de \( x \) para los cuales las funciones \( f(n_1),f(n_2),f(n_3),f(n_4) \) no tienen solución son infinitos.
Es algo como:

\(    x=f(n_1) \)
\(    x=f(n_2) \)
\(    x=f(n_3) \)
\(    x=f(n_4) \)

Para \( x=1 \), \( f(n_1) \) no existe solución, \( f(n_2) \) tiene solución en \( n=1 \), \( f(n_3) \) no existe solución, \( f(n_4)  \)no existe solución

¿Qué apartado de las matemáticas trata las soluciones o no soluciones de un "sistema"?.
Es un sistema para el que ciertos valores de x tienen solución en las 4 funciones, otros valores en los que solo alguna de las funciones tiene soluciones y otros valores para los que ninguna función tiene solución.
Las funciones son del tipo \( F(n_1)=3n+2 \) y se limita a soluciones de números naturales.

 Una ecuación del tipo \( x=an+b \) equivale a \( x\equiv b \) mod \( a \). Esencialmente el estudio de soluciones de un sistema formado por ecuaciones de ese tipo es el Teorema Chino del Resto:

https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_chino_del_resto

Saludos.

[Quarkbite]

Perdonad por el mensaje anterior, a ver si ahora lo hago bien.

Tengo, por ejemplo, las siguientes ecuaciones:

 \( \displaystyle\frac{11x}{2}+4+6xy+5y \)

 \( \displaystyle\frac{11x}{2}+5+6xy+7y \)

Si las igualo a 2, ninguna de ellas tiene solución entera positiva para x e y.
Si las igualo a 3, ninguna de ellas tiene solución entera positiva para x e y.
Por contra, si igualo a 4, la primera ecuación tiene solución para \( x=0, y=0 \), pero la segunda no tiene solución.

Lo que quiero demostrar, es que los valores para los cuales ni la primera, ni la segunda ecuación tienen soluciones enteras positivas, son infinitos.

[Luis Fuentes]

Hola

Perdonad por el mensaje anterior, a ver si ahora lo hago bien.

Tengo, por ejemplo, las siguientes ecuaciones:

 \( \displaystyle\frac{11x}{2}+4+6xy+5y \)

 \( \displaystyle\frac{11x}{2}+5+6xy+7y \)

Si las igualo a 2, ninguna de ellas tiene solución entera positiva para x e y.
Si las igualo a 3, ninguna de ellas tiene solución entera positiva para x e y.
Por contra, si igualo a 4, la primera ecuación tiene solución para \( x=0, y=0 \), pero la segunda no tiene solución.

Lo que quiero demostrar, es que los valores para los cuales ni la primera, ni la segunda ecuación tienen soluciones enteras positivas, son infinitos.

Para que las ecuaciones den valores enteros \( x \) tiene que ser par, así que equivalen a:

 \( 11x+4+12xy+5y=n \)

 \( 11x'+5+12x'y'+7y'=n \)

y es fácil ver que a su vez equivale a:

\( (12x+5)(12y'+11)=12n+7 \)
\( (12x'+7)(12y'+11)=12n+17 \)

 y mmmm... quieres ver si hay infinitos valores de \( n \) para los cuales ninguna de las dos ecuaciones tiene solución.

 En cualquier progresión aritmética \( an+b \) con \( a,b \) coprimos hay infinitos primos, así que solo con eso ya se tiene que cada una de las dos ecuaciones tiene infinitos valores de \( n \) para los cuales no hay solución. Sin embargo para estudiar cuando no tienen ambas solución, no lo veo tan claro. Es decir estoy casi seguro de que es cierto, pero no veo claro como probarlo.

Añadido: En general probar que dos ecuaciones de este tipo no tienen solución simultánemante en infinitos casos puede ser realmente difícil. Un ejemplo sencillo es este. Si consideramos:

\( (x+2)(y+2)=n \)
\( (x'+2)(y'+2)-2=n \)

el demostrar que hay infinitos valores de \( n \) para los cuales esas dos ecuaciones no tienen al mismo tiempo solución entera positiva, equivaldría a probar la conjetura de los primos gemelos.

Saludos.

[Quarkbite]

Añadido: En general probar que dos ecuaciones de este tipo no tienen solución simultánemante en infinitos casos puede ser realmente difícil. Un ejemplo sencillo es este. Si consideramos:

\( (x+2)(y+2)=n \)
\( (x'+2)(y'+2)-2=n \)

el demostrar que hay infinitos valores de \( n \) para los cuales esas dos ecuaciones no tienen al mismo tiempo solución entera positiva, equivaldría a probar la conjetura de los primos gemelos.

Saludos.

Me has dejado planchao con eso.  A si que no hay manera, actualmente, de  demostrar lo que indico,    .  Muchas gracias por la ayuda.

[Quarkbite]

De todas maneras, si no tengo mal entendido para el tema de los primos gemelos no es suficiente con demostrar que existen infinitos resultados para los cuales no hay solución, si no que además hay que demostrar que esos resultados no están agrupados. ¿no?

[Luis Fuentes]

Hola

De todas maneras, si no tengo mal entendido para el tema de los primos gemelos no es suficiente con demostrar que existen infinitos resultados para los cuales no hay solución, si no que además hay que demostrar que esos resultados no están agrupados. ¿no?

No entiendo que quieres decir con agrupados.

Se tiene que:

- La ecuación \( (x+2)(y+2)=n \) tiene soluciones enteras \( x,y\geq 0 \) si y sólo si \( n \) NO es primo.
- La ecuación \( (x'+2)(y'+2)=n+2 \) tiene soluciones enteras \( x',y'\geq 0 \) si y sólo si \( n+2 \) NO es primo.

- Por tanto los valores de \( n \) para los cuales esas dos ecuaciones NO tienen soluciones entras no negativas equivalen a los valores de \( n \) para los cuales \( n \) y \( n+2 \) son primos.

- Si hay infinitos de tales números \( n \), hay infinitos pares de primos \( (n,n+2) \), es decir, infinitos primos gemelos. Eso es lo que afirma la conjetura de los primos gemelos.

Saludos.

[Quarkbite]

No, es diferente el tema de los números gemelos con respecto a las ecuaciones que pongo yo, no tiene que ver.
A lo que me refería es que las ecuaciones salen de un grupo de conjuntos y se puede demostrar mediante combinatoria que las no-soluciones de estas ecuaciones son infinitas, pero también que las soluciones son infinitas por tanto no se si con demostrar que las no-soluciones son infinitas es suficiente o además hay que demostrar que estas soluciones están repartidas por la recta numérica y que no se agrupan en el infinito después del infinito de soluciones.
Tratar con infinitos me parece un tanto complicado.

[Luis Fuentes]

Hola

No, es diferente el tema de los números gemelos con respecto a las ecuaciones que pongo yo, no tiene que ver.

No he dicho que sea exactamente lo mismo, porque obviamente las ecuaciones son diferentes. Pero digo que son ecuaciones del mismo tipo. Así que algo que ver si que tienen.

A lo que me refería es que las ecuaciones salen de un grupo de conjuntos y se puede demostrar mediante combinatoria que las no-soluciones de estas ecuaciones son infinitas, pero también que las soluciones son infinitas por tanto no se si con demostrar que las no-soluciones son infinitas es suficiente o además hay que demostrar que estas soluciones están repartidas por la recta numérica y que no se agrupan en el infinito después del infinito de soluciones.

No estoy seguro de entenderte. Si te refieres a que por combinatoria si has sido capaz de probar que hay infinitos valores de \( n \), para los cuales SIMULTÁNEAMENTE no tienen solución ninguna de las dos ecuaciones tu problema está resuelto y sin ningún cabo suelto. Entonces no veo claro que te hace dudar.

No sé que signifique que algo se agrupo en en infinito.

Eso si tengo serias dudas de que por combinatoria hayas probado lo que he afirmado antes (entro otras cosas porque como dije si fuera cierto tampoco entiendo que dudas pueden quedar). Me gustaría ver tu argumento.

Volviendo a la relación con los primos gemelos ten en cuenta lo siguiente.

 Cualquier número de la forma \( 12n+7 \) si NO es primo tiene o bien se descompone de la forma \( (12x+1) (12y+7) \) o bien se descompone como \( (12x+5)(12y+11) \).

 Y cualquier número de la forma \( 12n+17 \) si NO es primo tiene o bien se descompone de la forma \( (12x+1) (12y+5) \) o bien se descompone como \( (12x+7)(12y+11) \).

 Entonces lo que quieres probar es que existen infinitos pares de números \( (k,k+10) \) con \( k=12n+7 \) que o son primos ambos o exigimos cierta restricción en su descomposición en factores.  Es algo más débil que la conjetura de los primos gemelos, pero claramente relacionado.

Saludos.