[nanotech]

Buen día a todos!

Me gustaría que me orientaran en el siguiente problema de física, la verdad no tengo idea de como plantearlo.



Un niño está sentado arriba de un montículo esférico de hielo (Fig.12-32). Recibe un pequeñísimo empujón y comienza a resbalar hacia abajo por el hielo. Demuestre que deja el hielo en un punto cuya altura es \( \frac{2R}{3} \) si el hielo no tiene fricción. (Sugerencia: La fuerza normal desparece cuando el niño abandona el hielo.)


Nota: La figura 12-32 viene adjunta.

Agradeceria mucho su apoyo y que tengan una buena semana.

[JCB]

Hola a tod@s.

Empezaría por aplicar la segunda ley de Newton (en la dirección radial) en el punto donde se produce la pérdida de contacto con el montículo esférico. Siendo \( \theta \) el ángulo recorrido,

\( \sum{F_r}=ma_r \),

\( -N+mg\cos\theta=m\dfrac{v^2}{R} \). Como \( N=0 \),

\( mg\cos\theta=m\dfrac{v^2}{R} \) (1).

Después, como no hay rozamiento, se conserva la energía mecánica. En el punto inicial \( E_i=mgR \). En el punto de pérdida de contacto \( E_f=\dfrac{1}{2}mv^2+mgR\cos\theta \). Igualando y despejando \( v^2 \),

\( v^2=2gR(1-\cos\theta) \). Sustituyendo en (1), llegas a que \( \cos\theta=\dfrac{2}{3} \). Finalmente \( h=R\cos\theta=\dfrac{2}{3}R \).

Saludos cordiales,
JCB.

[nanotech]

Hola a tod@s.

Empezaría por aplicar la segunda ley de Newton (en la dirección radial) en el punto donde se produce la pérdida de contacto con el montículo esférico. Siendo \( \theta \) el ángulo recorrido,

\( \sum{F_r}=ma_r \),

\( -N+mg\cos\theta=m\dfrac{v^2}{R} \). Como \( N=0 \),

\( mg\cos\theta=m\dfrac{v^2}{R} \) (1).

Después, como no hay rozamiento, se conserva la energía mecánica. En el punto inicial \( E_i=mgR \). En el punto de pérdida de contacto \( E_f=\dfrac{1}{2}mv^2+mgR\cos\theta \). Igualando y despejando \( v^2 \),

\( v^2=2gR(1-\cos\theta) \). Sustituyendo en (1), llegas a que \( \cos\theta=\dfrac{2}{3} \). Finalmente \( h=R\cos\theta=\dfrac{2}{3}R \).

Saludos cordiales,
JCB.

Muchas gracias, una duda. ¿de donde salio la componente de la masa \( mgcosθ \) y también, porque es utilizada en la conservación de energía de la forma \( mgRcosθ \)

[Richard R Richard]

No es la componente de la masa sino del peso que va en la dirección radial, está es la fuerza normal y varía con la posición y la posición depende del coseno del ángulo respecto de la vertical.
Para calcular la altura a la que está el niño usas trigonometría y es \( R\cos\theta \).
Está altura la usas para saber cuánto varió desde la cima la energía potencial gravitatoria.

[JCB]

Hola a tod@s.

Tal y como dice Richard. El peso se descompone en dirección radial, \( mg\cos\theta \) (la componente que se utiliza para la Dinámica en la dirección radial), y en dirección tangencial \( mg\sin\theta \), que no participa en el ejercicio. Por otra parte, consideré como referencia 0 de energía potencial gravitatoria, al plano horizontal que pasa por la base del montículo esférico.

Saludos cordiales,
JCB.