[ToniGim]

Hola a todos:
Dada un cuarto de elipse (2a,2b) y un punto C sobre ella ¿Cómo determinar las coordenadas de C para que esté centrado en el arco de la elipse?
Saludos

[Richard R Richard]

La longitud del arco ,no es un cálculo directo, tienes que calcular la longitud de la curva

\( s = \displaystyle\int\limits_{0}^{x_c} \sqrt{1 + \left [ y'_{(x)} \right ] ^2} \, \text{d}x  \) ec 1

en tu caso

\( y_{(x)}=b\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}} \)

\( y'_{(x)}=\dfrac{\partial y_{(x)}}{\partial x} \)
para \( x>0  \) e \( y>0 \)

y como el perímetro de una elipse se aproxima a

\( P \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right] \) ec 2

tu tienes que igualar la ecuación 1 con la octava parte de P de la ecuación 2

y despejar \( x_c \) con ello sacas \( y_c \)

[Luis Fuentes]

Hola

La longitud del arco ,no es un cálculo directo, tienes que calcular la longitud de la curva

\( s = \displaystyle\int\limits_{0}^{x_c} \sqrt{1 + \left [ y'_{(x)} \right ] ^2} \, \text{d}x  \) ec 1

en tu caso

\( y_{(x)}=b\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}} \)

\( y'_{(x)}=\dfrac{\partial y_{(x)}}{\partial x} \)
para \( x>0  \) e \( y>0 \)

y como el perímetro de una elipse se aproxima a

\( P \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right] \) ec 2

tu tienes que igualar la ecuación 1 con la octava parte de P de la ecuación 2

y despejar \( x_c \) con ello sacas \( y_c \)

En realidad si usas una integral para la primera parte (y es inevitable) no sé porque para la segunda usas la versión aproximada del perímetro de la elipse, en lugar de la integral exacta. 

Sea como sea, efectivamente para resolver este problema es inevitable usar integrales que no tienen expresión explícita así que hay que resolverlo por métodos numéricos.

Saludos.

[ToniGim]

Buenos días:
La aproximación de Richard me vale; pero para la siguiente cuestión me temo que habrá que echar mano a la integral elíptica.
Ahora lo que quiero un método (aproximado me vale) para hallar el arco de la elipse entre dos ángulos \( \vartheta_1 \)  y \( \vartheta_2 \)
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Buenos días:
La aproximación de Richard me vale; pero para la siguiente cuestión me temo que habrá que echar mano a la integral elíptica.

Pero la aproximación de Richard no te libra de la integral elíptica.

Ahora lo que quiero un método (aproximado me vale) para hallar el arco de la elipse entre dos ángulos \( \vartheta_1 \)  y \( \vartheta_2 \)
Saludos

Considera la parametrización de la elipse en polares:

\( (x(\theta),y(\theta))=(r(\theta)cos(\theta),r(\theta)sin(\theta)) \) con \( r(\theta)=\dfrac{b}{\sqrt{1-e^2cos^2(\theta)}} \)

siendo \( e=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}} \) la excentricidad.

Entonces la longitud del arco entre dos ángulos es:

\( \displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt \)

La integral tiene que resolverse por métodos numéricos.

Saludos.

[Richard R Richard]

Ja, si tienes razón, podría haber ofertado la octava parte de la misma integral entre 0 y \( 2\pi \).


De la última integral que propones el diferencial tiene que ser respecto al ángulo \( \theta \) o a \( t \) que sería un parámetro?

[ToniGim]

Gracias Luis, a ver cómo me las apaño para resolverla