[franma]

Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Una partícula de masa \( m_1 \) que se mueve a una velocidad \( v_1i \) choca en forma perfectamente inelástica con \( m_2 \), inicialmente en reposo.
(a) ¿Cuál es la energía cinética del sistema antes de la colisión?
(b) ¿Cuál es la energía cinética del sistema después de la colisión?
(c) ¿Qué fracción de la energía cinética original se perdió? (Considere la expresión: \( \displaystyle1-\frac{K_f}{K_i} \))

Sea \( v_G \) la velocidad del centro de masa del sistema. Analice la colisión desde un marco de referencia que se mueva con el centro de masa. Repita las partes (a), (b) y (c), como las ve un observador situado en este marco de referencia. ¿Se pierde la misma cantidad de energía cinética en cada caso? Explique.

Corregido (Gracias Delmar):

Para la primera parte (desde un referencial solido):
(a) \( \displaystyle K_i=\frac{m_1v_1^2}{2} \)
(b) \( \displaystyle K_f=\frac{(m_1+m_2)v_f^2}{2} \)

(c) \( \displaystyle 1 - \frac{m_1v_1^2}{(m_1+m_2)v_f^2} \)

Segunda parte(referencial que se mueve con el centro de masa):
Cualquier velocidad medida desde este referencial será la velocidad del objeto desde el referencial fijo menos la velocidad del referencial móvil.
(a) \( \displaystyle K_i=\frac{m_1(v_1-v_G)^2}{2} + \frac{m_2(-v_G)^2}{2} \)

(b) \( \displaystyle K_f=\frac{(m_1+m_2)(v_f-v_G)^2}{2} \)

(c) \( \displaystyle 1 - \frac{m_1(v_1-v_G)^2 + m_2(-v_G)^2}{(m_1+m_2)(v_f-v_G)^2} \)

¿Es correcto? No se que decir sobre si se pierde la misma cantidad de energía en cada caso (referencial móvil y fijo).

Saludos,
Franco.

[delmar]

Hola

Que significan \( K_i,K_f \) por la expresión que esta en el punto c, parecen ser energías cinéticas; pero por la solución que se esta dando para el apartado a primera parte, es cantidad de movimiento. Establece bien su significado y luego utiliza.

Para la primera parte hay que tener en cuenta que se conserva la cantidad de movimiento en la dirección del movimiento y la definición de choque inelástico.



Saludos

[franma]

Buenas,

Hola

Que significan \( K_i,K_f \) por la expresión que esta en el punto c, parecen ser energías cinéticas; pero por la solución que se esta dando para el apartado a es cantidad de movimiento. Establece bien su significado y luego utiliza.

Saludos

Tienes total razón Delmar, me confundí ambos conceptos. Editare mi mensaje anterior.

Saludos,
Franco.

[franma]

Buenas,

Continuando:

Ahora en el primer caso:
\( p_i=m_1v_1 \)
\( p_f=(m_1+m_2)v_f \)

\( p_i=p_f \)

\( vf=\frac{m_1v_1}{m_1+m_2} \)

La cantidad de energía cinética que se pierde es:

\( \displaystyle 1 - \frac{m_1v_1^2}{(m_1+m_2)v_f^2} = \displaystyle 1 - \frac{m_1v_1^2}{(m_1+m_2)(\frac{m_1v_1}{m_1+m_2})^2} = 1 - \frac{m_1v_1^2}{(m_1+m_2)\frac{(m_1v_1)^2}{(m_1+m_2)^2}} = 1 - \frac{m_1v_1^2}{\frac{(m_1v_1)^2}{(m_1+m_2)}} = \boxed{1-(m_1+m_2)} \)

El segundo caso:

\( p_i=m_1(v_1 - v_G) + m_2(-v_G) \)
\( p_f=(m_1+m_2)(v_f-v_G) \)

\( p_i=p_f \)

\( \displaystyle v_f=  \frac{m_1(v_1-v_G) + m_2(-v_G)}{m_1+m_2} + v_G \)

La cantidad de energía cinética perdida será:

\( \displaystyle 1 - \frac{m_1(v_1-v_G)^2 + m_2(-v_G)^2}{(m_1+m_2)(v_f-v_G)^2} = 1 - \frac{m_1(v_1-v_G)^2 + m_2(-v_G)^2}{(m_1+m_2)(\frac{m_1(v_1-v_G) + m_2(-v_G)}{m_1+m_2} + v_G -v_G)^2} = 1 - \frac{m_1(v_1-v_G)^2 + m_2(-v_G)^2}{(m_1+m_2)\frac{(m_1(v_1-v_G) + m_2(-v_G))^2}{(m_1+m_2)^2}} = 1 - \frac{m_1(v_1-v_G)^2 + m_2(-v_G)^2}{\frac{(m_1(v_1-v_G) + m_2(-v_G))^2}{m_1+m_2}} \)

Aquí ya no se como seguir 

Saludos,
Franco.

[delmar]

En la respuesta de la primera parte hay un error operativo :

\( 1-\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}(m_1+m_2)(\displaystyle\frac{m_1v_1}{m_1+m_2})^2}{\displaystyle\frac{1}{2}m_1v_1^2}=1-\displaystyle\frac{m_1}{m_1+m_2} \)

Revisa

Saludos

[franma]

Buenas,

En la respuesta de la primera parte hay un error operativo :

\( 1-\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}(m_1+m_2)(\displaystyle\frac{m_1v_1}{m_1+m_2})^2}{\displaystyle\frac{1}{2}m_1v_1^2}=1-\displaystyle\frac{m_1}{m_1+m_2} \)

Revisa

Saludos

De nuevo, tienes razón Delmar, coloque la energía cinética final como denominador cuando debía ir como numerador.
Corrigiéndolo llego a tu resultado propuesto, consecuentemente olvidemos todo el desarrollo de la 2da parte que arrastra nuevamente el error de invertir el numerador y denominador.

Saludos y muchas gracias,
Franco.

[Richard R Richard]

Hola, cuanto vale \( v_G \)?

\( v_G=v_1\dfrac{m_1}{m_1+m_2} \)

si reemplazas en

\( p_i=m_1(v_1 - v_G) + m_2(-v_G) \)

\( p_i=m_1(v_1 - v_1\dfrac{m_1}{m_1+m_2}) + m_2(-v_1\dfrac{m_1}{m_1+m_2}) \)

\( p_i=v_1m_1(1 - \dfrac{m_1}{m_1+m_2}) - (\dfrac{m_2}{m_1+m_2})) \)

\( p_i=v_1m_1(1 - \dfrac{m_1+m_2}{m_1+m_2}) ) \)

\( p_i=v_1m_1(1 - 1) )=0 \)

luego \( p_f=0 \quad \to\quad v_f=0 \) lque es la velocidad relativa respecto al CM lo que es lógico las dos masas siguen con velocidad al sistema de referencia estático con igual velocidad que el CM

\( \displaystyle K_i=\frac{m_1(v_1-v_G)^2}{2} + \frac{m_2(-v_G)^2}{2} \)

\( \displaystyle K_i=\frac{m_1(v_1-v_1\dfrac{m_1}{m_1+m_2})^2}{2} +\dfrac{m_2(-v_1\dfrac{m_1}{m_1+m_2})^2}{2} \)

\( \displaystyle K_i=\frac{m_1(v_1\dfrac{m_2}{m_1+m_2})^2}{2} + \dfrac{m_2(v_1\dfrac{m_1}{m_1+m_2})^2}{2} \)

\( \displaystyle K_i=\frac{m_1(v_1\dfrac{m_2}{m_1+m_2})^2}{2} +\dfrac{m_2(v_1\dfrac{m_1}{m_1+m_2})^2}{2} \)

\( \displaystyle K_i=\dfrac{m_1m_2v_1^2}{2(m_1+m_2)} \)

\( \displaystyle K_i=\dfrac{m_Rv_1^2}{2} \)


donde \( m_R \) es la masa reducida del sistema

\( m_R=\dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}=\dfrac {1}{\dfrac{1}{m_1}+\dfrac{1}{m_2}} \)

\( K_f=\dfrac{(m_1+m_2)(v_f-v_G)^2}{2}=\dfrac{(m_1+m_2)(v_G-v_G)^2}{2}=0 \)

c)

\( 1-\dfrac{K_f}{K_i}=1-\dfrac{0}{\dfrac{m_Rv_1^2}{2}}=1 \)      o      \( 100\% \)

para comparar un sistema con el otro a numerador y denominador de la fracción debes adicionarle/restarle la energía cinetica del centro de masas




visto desde un sistema ue se mueve solidario a la velocidad del centro de masas, antes del colisión las masas se mueven relativamente(habia energía cinetica) pero después de la colisión ya no se mueven relativamente respecto del CM, es decir no hay energía cinetica, entonces se perdió el 100% de lo que había.

[franma]

Buenas,

visto desde un sistema ue se mueve solidario a la velocidad del centro de masas, antes del colisión las masas se mueven relativamente(habia energía cinetica) pero después de la colisión ya no se mueven relativamente respecto del CM, es decir no hay energía cinetica, entonces se perdió el 100% de lo que había.

A ver si lo entendí bien, al inicio el CM se va moviendo ya que la posición de los cuerpos respecto a este cambia (y además creo que se debería de acercar hacia el cuerpo de mayor masa), una vez que se chocan los cuerpos al ser una colisión inelástica estos quedan pegados por lo que la velocidad del sistema es la del CM y esta es 0, por lo visto desde el CM el sistema no se mueve y no tiene energía cinética.

Saludos,
Franco.

[Richard R Richard]

A ver si lo entendí bien, al inicio el CM se va moviendo ya que la posición de los cuerpos respecto a este cambia   

en un sistema de referencia que se mueve con la misma velocidad que el centro de masas la velocidad del centro de masas es 0 siempre, son ambas masas individuales las que tienen velocidad relativa hacia el CM cuando estan por colisionar

(y además creo que se debería de acercar hacia el cuerpo de mayor masa), 

El CM siempre esta mas cerca del cuerpo de mayor masa, la velocidad de cada masa respecto del CM depende de la relación de masas \( m_1/m_2 \) , masas mas grandes se mueven poca distancia y a poca velocidad relativa, y las de menor masa se mueven mas distancia y a mayor velocidad relativa.

una vez que se chocan los cuerpos al ser una colisión inelástica estos quedan pegados por lo que la velocidad del sistema es la del CM y esta es 0, por lo visto desde el CM el sistema no se mueve y no tiene energía cinética.

Correcto

[franma]

Buenas,

A ver si lo entendí bien, al inicio el CM se va moviendo ya que la posición de los cuerpos respecto a este cambia   

en un sistema de referencia que se mueve con la misma velocidad que el centro de masas la velocidad del centro de masas es 0 siempre, son ambas masas individuales las que tienen velocidad relativa hacia el CM cuando estan por colisionar

(y además creo que se debería de acercar hacia el cuerpo de mayor masa), 

El CM siempre esta mas cerca del cuerpo de mayor masa, la velocidad de cada masa respecto del CM depende de la relación de masas \( m_1/m_2 \) , masas mas grandes se mueven poca distancia y a poca velocidad relativa, y las de menor masa se mueven mas distancia y a mayor velocidad relativa.

una vez que se chocan los cuerpos al ser una colisión inelástica estos quedan pegados por lo que la velocidad del sistema es la del CM y esta es 0, por lo visto desde el CM el sistema no se mueve y no tiene energía cinética.

Correcto

Muchas gracias Richard, estas aclaraciones me ayudan un montón.

Saludos,
Franco.