[Albert Newton]

Buenas. He sacado esta tarea de un libro de Algebra lineal. Se supone que es uno de los problemas fáciles (Aunque yo no lo veo 😅)

„Sea \( V \) un espacio vectorial complejo y sea \( <\cdot,\cdot>: V \times V \to \Bbb C \) un producto escalar hermitiano en \( V \). A continuación, consideramos que \( V \) es un espacio de vector \( \Bbb R \). Demuestre que \( (z, w): = Re (z, w⟩ \) define un producto escalar euclidiano en \( V \).“

Alguien me puede decir como puedo empezar esto?  Porque la verdad es que no estoy seguro por donde😅
Mensaje corregido desde la administración.

[geómetracat]

Pues es simplemente comprobar la definición de producto escalar euclidiano para \[ (\cdot,\cdot) \] (es decir, que es bilineal, simétrico y definido positivo), usando las propiedades de \[ \langle \cdot, \cdot \rangle \] como producto escalar hermitiano. Es bastante directo, pero si tienes problemas con algún punto en particular vuelve a preguntar especificando dónde tienes dudas.

[Albert Newton]

Buenas. He sacado esta tarea de un libro de Algebra lineal. Se supone que es uno de los problemas fáciles (Aunque yo no lo veo 😅)

„Sea \( V \) un espacio vectorial complejo y sea \( <\cdot,\cdot>: V \times V \to \Bbb C \) un producto escalar hermitiano en \( V \). A continuación, consideramos que \( V \) es un espacio de vector \( \Bbb R \). Demuestre que \( (z, w): = Re (z, w⟩ \) define un producto escalar euclidiano en \( V \).“

Alguien me puede decir como puedo empezar esto?  Porque la verdad es que no estoy seguro por donde😅

Gracias por la respuesta ^^
He llegado a comprobar si es definido positivo (Parece ser, que si lo es ), pero no se como comprobar si es symetrico. Y la verdad es que pense que lo de bilineal estaba dado por definición

(Estoy permitido subir fotos, para que veais mi progreso?)

[geómetracat]

Es mejor que escribas aquí directamente lo que vas haciendo usando LaTeX.

Para ver que es simétrico, observa que \[ \langle u,v \rangle = \overline{\langle v,u \rangle} \], de donde se sigue que \[ Re \, \langle u,v \rangle = Re \, \langle v,u \rangle \], pues \[ Re\, z = Re \, \overline{z} \] para cualquier \[ z \in \Bbb C \].

Igualmente, debes ver que es bilineal usando las propiedades del producto hermitiano (que es lineal en un factor y antilineal en el otro). Recuerda para ello que para el producto euclidiano los escalares son reales, y no complejos arbitrarios.

[Albert Newton]

Es mejor que escribas aquí directamente lo que vas haciendo usando LaTeX.

Para ver que es simétrico, observa que \[ \langle u,v \rangle = \overline{\langle v,u \rangle} \], de donde se sigue que \[ Re \, \langle u,v \rangle = Re \, \langle v,u \rangle \], pues \[ Re\, z = Re \, \overline{z} \] para cualquier \[ z \in \Bbb C \].

Igualmente, debes ver que es bilineal usando las propiedades del producto hermitiano (que es lineal en un factor y antilineal en el otro). Recuerda para ello que para el producto euclidiano los escalares son reales, y no complejos arbitrarios.

Si tomo \( Re<x,hy> \) para una \( h \) compleja,

¿Es lo mismo que \( hRe<x,y> \)?

[geómetracat]

Si tomo Re<x,hy> para una h compleja,

Es lo mismo que hRe<x,y>?

No, no lo es. De hecho, si \[ h \] no es real, \[ h Re \, \langle x,y \rangle \] no es real, mientras que \[ Re \,\langle x,hy \rangle \] siempre es real.

Pero para probar la bilinealidad del producto euclidiano no tienes que considerar escalares complejos, solamente reales. Es decir, debes probar que para todo \[ a,b \in \Bbb R \] se cumple \[ {\color{red}(ax+by,z)=a(x,z)+b(y,z)} \] (la linealidad en el otro factor es consecuencia de esto y de la simetría). Inténtalo ahora.

Corregido.

[Albert Newton]

Si tomo Re<x,hy> para una h compleja,

Es lo mismo que hRe<x,y>?

No, no lo es. De hecho, si \[ h \] no es real, \[ h Re \, \langle x,y \rangle \] no es real, mientras que \[ Re \,\langle x,hy \rangle \] siempre es real.

Pero para probar la bilinealidad del producto euclidiano no tienes que considerar escalares complejos, solamente reales. Es decir, debes probar que para todo \[ a,b \in \Bbb R \] se cumple \[ (ax+by,z)=a(x,y)+b(x,y) \] (la linealidad en el otro factor es consecuencia de esto y de la simetría). Inténtalo ahora.

Perdon, creo que hice algo mal 😅

Yo acabo con:

\( Re(ax+by,z) = aRe(x,z)+bRe(y,z) \)

[geómetracat]

Sí, está bien, pero teniendo en cuenta que \[ a,b \in \Bbb R \].

[Albert Newton]

Sí, está bien, pero teniendo en cuenta que \[ a,b \in \Bbb R \].

Gracias