Hola
Respecto a la segunda bola, no se repite la extracción se repite el sorteo desde el principio, comenzando de nuevo con las decenas de millar (0-1) de esta forma nos aseguramos que el numero obtenido está comprendido dentro del rango de números elegibles (1-12.800), ¿afectaría a la probabilidad?
Si; te había entendido mal.
Entonces todos los números son equiprobables. La idea es que puedes suponer que completas siempre el sorteo hasta el final y si sale número fuera de rango se repite. Eso encaja en la siguiente situación general:
Tenemos un conjunto de \( A \) números equiprobables, y un subconjunto \( B\subset A \). Si el número cae fuera de \( B \), repetimos el sorteo.
Entonces si llamamos \( X_i \) al número en \( A \) obtenido en el \( i \)-ésimo intento, y \( X \) al número de \( B \) obtenido cuando estamos en rango y detenemos el sorteo, dado \( n\in B \) tenemos que:
\( P(X=n)=P(X_1=n)+P(X_1>n)P(X_2=3)=n+P(X_1>n)P(X_2>n)P(X_3=n)+\ldots= \)
Las variables \( X_i \) son equiprobables, y \( P(X_i=n)=\dfrac{1}{card(A)}=p \) y \( P(X_i>n)=1-\dfrac{card(B)}{card(A)}=q \). Entonces:
\( P(X=n)=p\displaystyle\sum_{i=0}^n{}q^i=\dfrac{p}{1-q}=\dfrac{1}{card(B)} \)
Es decir todos los números del conjunto \( B \) equiprobables.
Saludos.
P.D. Otra forma de verlo es tener en cuenta que \( P(X=n|X_1>n)=P(X=n) \) es decir la probabilidad de que salga el número \( n \) sabiendo que en el primer intento no salió es la misma que la inicial, ya que simplemente se repite el sorteo. Entonces:
\( P(X=n)=P(X=n|X_1\leq n)P(X_1\leq n)+P(X=n|X_1>n)P(X_1>n)=\dfrac{1}{card(B)}\dfrac{card(B)}{card(A)}+P(X=n)\left(1-\dfrac{card(B)}{card(A)}\right) \)
Despejando: \( P(X=n)=\dfrac{1}{card(B)} \).
Añadido: Incluso hay un razonamiento más rápido para concluir que la probabilidad de obtener cualquier número del conjunto \( B \) es la misma. Simplemente en la definición del experimento probabilístico lo único relevante es si los elementos están o no en \( B \), es decir, no se distinguen unos elementos de \( B \) de otros.
