[Asdfgh]

Buenos días, necesito ayuda con este problema.

Sean \( (a,b) \subset \mathbb{R} \) un intervalo con \( a \in \mathbb{R} \) y sea \( f \in \mathcal{C}(a,b) \) derivable tal que \[ \lim_{t\to a} f(t)=-\infty \] Entonces existe una sucesión \( t_n \in (a,b) \) tal que \( f'(t_n) \to +\infty \) .

Lo más parecido que he probado ha sido el Lema de Barbalat, pero no sé si tiene una utilidad en la prueba de este resultado.

Agradezco la ayuda.

[Juan Pablo Sancho]

Toma \(  x_0 \in (a,b)  \) entonces existe \( x_1 \in (a,x_0) \cap (a,a+1)  \) con \( f(x_1)-f(x_0) < -\dfrac{1}{b-1}  \)

Toma \( x_2 \in (a,x_1)\cap (a , a + \dfrac{1}{2})  \) con \( f(x_2) - f(x_1) < -\dfrac{2}{b-a}  \)

Creas así una sucesión \( \{x_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) verificando:
\( x_{n+1} \in (a , x_n) \cap (a , a + \dfrac{1}{n+1})  \) con \( f(x_{n+1}) - f(x_n) < -\dfrac{n+1}{b-a} \).

Entonces para \( \forall n \in \mathbb{N}  \) aplica el torema del valor medio al intervalo \( [x_{n+1} , x_n]  \)

[Asdfgh]

Muchas gracias!!

[Luis Fuentes]

Hola

Buenos días, necesito ayuda con este problema.

Sean \( (a,b) \subset \mathbb{R} \) un intervalo con \( a \in \mathbb{R} \) y sea \( f \in \mathcal{C}(a,b) \) derivable tal que \[ \lim_{t\to a} f(t)=-\infty \] Entonces existe una sucesión \( t_n \in (a,b) \) tal que \( f'(t_n) \to +\infty \) .

Lo más parecido que he probado ha sido el Lema de Barbalat, pero no sé si tiene una utilidad en la prueba de este resultado.

Agradezco la ayuda.

La idea es que, por tener límite menos infinito en \( a \),  puedes tomar pares de puntos cada vez más próximos al punto \( a \), de manera que el segmento que los une tiene una pendiente muy grande.

Sea \( c=(b-a)/2 \). \( a_n=a+\dfrac{c}{n} \). Dado que \[ \lim_{t\to a} f(t)=-\infty \] existe un \( x_n\in (a,a_n) \) tal que \( f(x_n)<f(a_n)-n \).

Entonces por el teorema del valor medio existe \( y_n\in (x_n,a_n) \) tal que:

\( f'(y_n)=\dfrac{f(a_n)-f(x_n)}{a_n-x_n}>\dfrac{n}{a_n-x_n}>\dfrac{n}{b-a} \)

Entonces:

1) \( a<y_n<a_n \) y \( a_n\to a \). Por tanto \( y_n\to a \).
2) \( f'(y_n)>\dfrac{n}{b-a}\to \infty \) y por tanto \( f'(y_b)\to \infty \).

Saludos.

P.D. Se adelantó Juan Pablo