Buenas tardes, necesito ayuda con estas dos demostraciones que no sé como demostrar:
Si sabéis de algún libro que contenga las pruebas me sería de ayuda. Si no, si me podéis ayudar también lo agradecería.
Sean \( [a,b] \subset \mathbb{R} \) un intervalo compacto con \( a<b \) y \( f \in \mathcal{C}([a,b];\mathbb{R}^d) \). Entonces \[ \left\|{\int_{a}^{b} f(t) \ dt}\right\| \leq \int_{a}^{b} \left\|{f(t)}\right\| \ dt. \]
y la otra desigualdad es similar pero partiendo de que el intervalo compacto \( [a,b] \) ahora es un intervalo \( I \subset \mathbb{R} \) cualquiera:
Sea \( f \in \mathcal{C}(I;\mathbb{R}^d) \). Entonces \( \forall \ a,b \in I \) se verifica \[ \left\|{\int_{a}^{b} f(t) \ dt}\right\| \leq \left |{\int_{a}^{b} \left\|{f(t)}\right\| \ dt}\right |. \]
Os agradezco la ayuda prestada!
Por ejemplo el libro
Analysis II de Herbert Amann y Joachim Escher asumiendo que la integral es la derivación clásica desde la integral de Riemann en la recta real, que en el mencionado libro la llaman como la integral de "Cauchy-Riemann". Por otra parte en el libro
Analysis III está la integral de Bochner, que es más general que la anterior y cuya demostración también te sirve.
La demostración esencialmente se sigue del hecho de que, elijas la integral que elijas (la de Cauchy-Riemann o la de Bochner) su valor viene determinado por un límite de una sucesión de sumas finitas, es decir, si \( f \) es continua en \( [a,b] \) entonces existe una sucesión de sumas de Riemann \( \{S_n\}_{n\in \mathbb N} \) tal que \( \int_{a}^b f(x)dx=\lim_{n\to \infty }S_n \).
Como una suma de Riemann tiene la forma \( \sum_{k=0}^{m_n} f(x_k) \ell(I_k) \), donde los \( x_k \) son puntos dentro de cada intervalo \( I_k \) arbitrarios y \( \ell(I_k) \) es la longitud del intervalo \( I_k \) (donde los \( I_k \) definen una partición de \( [a,b] \), es decir que \( \bigcup_{k=0}^{m_n} I_k=[a,b] \) y \( \operatorname{card}(I_k \cap I_j)\leqslant 1 \) cuando \( k\neq j \)) entonces debido a la desigualdad triangular de cualquier norma tenemos que
\( \displaystyle{
\left\|\sum_{k=0}^{m_n} f(x_k) \ell (I_k)\right\|\leqslant \sum_{k=0}^{m_n} \|f(x_k)\ell(I_k)\|=\sum_{k=0}^{m_n} \|f(x_k)\|\ell(I_k)\tag1
} \)
donde usamos el hecho de que \( \ell (I_k)\geqslant 0 \) por definición de longitud de un intervalo.
Sin pérdida de generalidad podemos asumir que \( \lim_{n\to \infty }\max_{k\in\{0,\ldots,m_n\}}\ell(I_k)=0 \), es decir, que el tamaño de malla de las particiones de \( [a,b] \) que definen la sucesión de sumas de Riemann converge a cero. Como el lado de la derecha es una suma de Riemann para la función \( \|f\| \) en \( [a,b] \), entonces tomando límites en (1) tenemos que
\( \displaystyle{
\begin{align*}
\left\|\int_{a}^b f(x)dx\right\|&=\left\|\lim_{n\to \infty }\sum_{k=0}^{m_n} f(x_k) \ell (I_k)\right\|\\
&=\lim_{n\to \infty }\left\|\sum_{k=0}^{m_n} f(x_k) \ell (I_k)\right\|\\
&\leqslant \lim_{n\to \infty }\sum_{k=0}^{m_n} \|f(x_k)\|\ell(I_k)\\
&= \int_{a}^b\|f(x)\|dx\tag2
\end{align*}
} \)
argumentación errónea
donde la última desigualdad se sigue del hecho de que si \( g \) es una función no-negativa entonces cualquier suma de Riemann de \( g \) en \( [a,b] \) es menor o igual que su integral (asumiendo que ésta exista).
había un error gordo en la argumentación anterior metida en spoiler, y es que hay sumas de Riemann con un valor mayor a su integral, que es lo que ocurre por ejemplo cuando \( g(x_k)=\sup_{x\in I_k}g(x) \).
He terminado re-escribiendo la secuencia de igualdades y desigualdades en (2) para que el argumento se entienda mejor. La última igualdad se sigue de que existe un teorema que dice que si el tamaño de malla tiende a cero de una sucesión de sumas de Riemann entonces la sucesión de sumas de Riemann converge a la integral, cuando ésta existe. Asumiendo que ambas integrales de Riemann, de \( f \) y \( \|f\| \) existen, y tomando una sucesión de sumas de Riemann de tamaño de malla decreciente a cero, entonces la desigualdad en (2) sale asumiendo el teorema anteriormente mencionado de que si el tamaño de malla tiende a cero en una sucesión de sumas de Riemann entonces la sucesión tiende al valor de la integral.
No es una demostración completa porque habría que aclarar eso de las mallas decrecientes a cero. Quizá sea mejor que mires una demostración completa en un libro de análisis como el antes mencionado.
