[Soofiaa]

Probar que \( mcd(x,y)=mcd(x,y+nx) \) para todo \( n \in \mathbb{Z} \).

¿Cómo harían esta demostración?

Intuitivamente se me hace que es cierto, no obstante, no logro llegar a una forma formal de hacerlo.

Noto que si el \( mcd(x,y) \) fuese un número cualquiera, entonces en \( mcd(x,y+nx) \), el  \( y+nx \) debería tener alguna dependencia lineal con \( x \), pero no se me ocurre como expresarlo  .

Agradecería mucho de su ayuda!!
Si tienen una demostración sencilla para esto, se apreciaría un montón.

[Juan Pablo Sancho]

Sea \( d = mcd(x,y)  \) y sea \( k = mcd(x , y + n \cdot x)  \)
Si un número \( p \) divide a \(  u  \) y divide a \( t \) entonces divide a cualquier combinación de esos dos por ejemplo\( p|l \cdot \color{red} t \color{black} + q \cdot u  \) nos queda:
\( d | x  \) y \(  d | y  \) obtenemos \(  d | 1 \cdot y + n \cdot x  \) entonces \( d|k \)

También tenemos que \( k|x \) y \( k|y + n \cdot x  \) entonces \( k| 1 \cdot (y+n \cdot x) + (-n) \cdot x = y \)  obtenemos \(  k | d  \) 

[Soofiaa]

Estimado, muchas gracias!! quedó todo claro.

Si no sería mucha molestia me gustaría agregar este propuesto:

Si extendemos la definición de máximo común divisor a más números:
\( mcd(x_{1}, . . . , x_{n}) \) es el mayor divisor de \( x_{1}, . . . , x_{n} \). Probar que \( mcd(x, y, z) =mcd(x, mcd(y, z)) \).

Es como una extensión del primero, sin embargo, no se me ocurre como plantearlo ya que es hasta \( n \) números

[Juan Pablo Sancho]

Para cuestiones nuevas debes poner hilos nuevos.
Sea \( d = mcd(x,y,z)  \) y \( k = mcd(x,mcd(y,z))  \)
Como \( d|y  \) y \( d | z  \) entonces \( d|mcd(y,z)  \) en consecuencia \( d | k  \)

Como \( k|  mcd(y,z) \) tenemos que \( k|y  \) y \( k|z \) entonces \( k|d \).