[Chocolate]

Hola.
Se puede demostrar (matemáticamente) usando la Fórmula de Leibniz que la determinante de una matriz triangular unitaria[nxn] siempre es igual a 1?

Lo he intentado con inducción, usando \( n=1 \) y \( n+1 \), pero creo que mi solución no tiene sentido.

Por eso queria demostrarlo de una forma menos complicada, por ejemplo argumentando con permutaciones.

Por ejemplo sabemos que la única permutación que tiene el producto diagonal != 0 es la identidad. Por eso con la definición de la Matriz triangular unitaria y la formula Leibniz sabemos que la determinante tiene que ser 0.

Pero no se como demostrarlo matematicamente.

Saludos

edit:

\( \begin{bmatrix}{1}&{\ldots}&{a_{1n}}\\{\vdots}&{1}&{a_{2n}}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix} \)

Spoiler

[tex]\begin{bmatrix}{1}&{\ldots}&{a_{1n}}\\{\vdots}&{1}&{a_{2n}}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}[/tex]

[cerrar]

Perdonadme, aun no estoy dan acostumbrado a Latex

[geómetracat]

Pues no, porque es falso. Por ejemplo, una matriz unitaria \[ 1 \times 1 \] unitaria es \[ e^{i\theta} \] para cualquier valor real de \[ \theta \], que no tiene por qué tener determinante uno.

Igualmente, cualquier matriz \[ n\times n \] diagonal, de la forma \[ diag(e^{i\theta_1},\dots,e^{i\theta_n}) \] es unitaria y no tiene por qué tener determinante 1. Quizás querías poner otra cosa.

[Chocolate]

Pues no, porque es falso. Por ejemplo, una matriz unitaria \[ 1 \times 1 \] unitaria es \[ e^{i\theta} \] para cualquier valor real de \[ \theta \], que no tiene por qué tener determinante uno.

Igualmente, cualquier matriz \[ n\times n \] diagonal, de la forma \[ diag(e^{i\theta_1},\dots,e^{i\theta_n}) \] es unitaria y no tiene por qué tener determinante 1. Quizás querías poner otra cosa.

Me refiero a las Matrices triangulares cuya diagonal solo consiste de 1. Osea A[n,n] siempre es = 1

[geómetracat]

Ah, me ha confundido lo de unitaria, que normalmente quiere decir otra cosa. De hecho nunca había oído llamar matriz unitaria a una cuya diagonal es todo unos.

Eso es bastante directo usando la fórmula de Leibniz. Supón que la matriz es triangular superior (si es inferior es parecido, o puedes apelar a que el determinante de una matriz coincide con el de su adjunta). La cuestión es que si \[ \sigma \] es cualquier permutación de \[ \{1,2,\dots,n\} \] distinta de la identidad, entonces necesariamente existe un índice \[ i \] tal que \[ \sigma(i)<i \].
Por lo tanto, el producto \[ A[1,\sigma(1)]\dots A[n,\sigma(n)] \] es cero, porque aparece el término \[ A[i,\sigma(i)]=0 \].
Así, de la fórmula de Leibniz te queda \[ det(A)=A[1,2]A[2,2]\dots A[n,n]=1 \].

[Chocolate]

Ah, me ha confundido lo de unitaria, que normalmente quiere decir otra cosa. De hecho nunca había oído llamar matriz unitaria a una cuya diagonal es todo unos.

Eso es bastante directo usando la fórmula de Leibniz. Supón que la matriz es triangular superior (si es inferior es parecido, o puedes apelar a que el determinante de una matriz coincide con el de su adjunta). La cuestión es que si \[ \sigma \] es cualquier permutación de \[ \{1,2,\dots,n\} \] distinta de la identidad, entonces necesariamente existe un índice \[ i \] tal que \[ \sigma(i)<i \].
Por lo tanto, el producto \[ A[1,\sigma(1)]\dots A[n,\sigma(n)] \] es cero, porque aparece el término \[ A[i,\sigma(i)]=0 \].
Así, de la fórmula de Leibniz te queda \[ det(A)=A[1,2]A[2,2]\dots A[n,n]=1 \].

Ahh vale, gracias ^^
Y si hago la permutacion con las filas, tendriaque argumentar que hay un \[ \sigma(i)>i \]?  O simplemente importa que no sean iguales las indices?

\[ A[\sigma(i),i]=0 \]

[geómetracat]

Exacto, si usas \[ A[\sigma(i),i] \] y la matriz es triangular superior tienes que argumentar que existe un índice \[ i \] con \[ \sigma(i)>i \].

[Chocolate]

Exacto, si usas \[ A[\sigma(i),i] \] y la matriz es triangular superior tienes que argumentar que existe un índice \[ i \] con \[ \sigma(i)>i \].

Perfecto, muchas gracias ^^