Hola estaba estudiando análisis y quede pegado con este ejercicio
Sea \( T:C[0,1] \rightarrow{\mathbb{C}} \) definida por \( T(f)=f(0), f \in C[0,1] \). Muestre que \( T \) es continua
Se que básicamente va a existir un \( c \in [0,1] \) tal que \( f(c)=0 \)
¿Qué métrica estás usando en \( C[0,1] \)?. Para la continuidad en un punto (función) \( f_0\in C[0,1] \) tienes que probar que dado \( \epsilon>0 \) existe un \( \delta>0 \) tal que:
\( \|f-f_0\|<\delta \quad \Rightarrow{}\quad |T(f)-T(f_0)|\epsilon \) (es decir \( |f(0)-f_0(0)|<\epsilon \))
Si en \( C[0,1] \) estás considerando por ejemplo la métrica del supremo:
\( \|f-g\|_\infty=\displaystyle\sup_{[0,1]}\{f(x)-g(x)\} \)
basta que tomes \( \delta=\epsilon \).
Saludos.
