[mgranadosgg]

Hola y gracias de antemano.

Quisiera pedir ayuda con el siguiente ejercicio.

ENUNCIADO
--------------
Hallar los puntos de la superficie \( x^2-2y^2-4z^2=16 \) en los que el plano  tangente es paralelo al plano \( 4x-2y+4z=5 \)

Solución
---------
Sean las superficies \( F(x,y,z)=x^2-2y^2-4z^2=16 \) y \( G(x,y,z)=4x-2y+4z=5 \).

Calculamos el gradiente de G: \( \nabla G=(G_x,G_y,G_z)=(4,-2,4) \)

Calculamos el gradiente de F: \( \nabla F=(F_x,F_y,F_z)=(2x,-4y,-8z) \)

Por las propiedades del gradiente, éste coincide con el vector normal.

Para que F y G sean paralelas, sus vectores normales deben ser paralelos y para que eso suceda, uno debe ser múltiplo del otro:

\( \nabla F(x,y,z)=λ.G(x,y,z) \longrightarrow{} (2x,-4y,-8z)=λ.(4,-2,4) \)

Resolver el S.L.E.:

\( 2x=4λ \longrightarrow{} x=2λ \longrightarrow{}λ=x/2 \)
\( -4y=-2λ \longrightarrow{}y=λ/2 \)
\( -8z=4λ \longrightarrow{} z=-λ/2 \)

Saludos.
Moderador: cambiado título por otro más informativo.

[Masacroso]

Hola y gracias de antemano.

Quisiera pedir ayuda con el siguiente ejercicio.

ENUNCIADO
--------------
Hallar los puntos de la superficie \( x^2-2y^2-4z^2=16 \) en los que el plano  tangente es paralelo al plano \( 4x-2y+4z=5 \)

Solución
---------
Sean las superficies \( F(x,y,z)=x^2-2y^2-4z^2=16 \) y \( G(x,y,z)=4x-2y+4z=5 \).

Calculamos el gradiente de G: \( \nabla G=(G_x,G_y,G_z)=(4,-2,4) \)

Calculamos el gradiente de F: \( \nabla F=(F_x,F_y,F_z)=(2x,-4y,-8z) \)

Por las propiedades del gradiente, éste coincide con el vector normal.

Para que F y G sean paralelas, sus vectores normales deben ser paralelos y para que eso suceda, uno debe ser múltiplo del otro:

\( \nabla F(x,y,z)=λ.G(x,y,z) \longrightarrow{} (2x,-4y,-8z)=λ.(4,-2,4) \)

Resolver el S.L.E.:

\( 2x=4λ \longrightarrow{} x=2λ \longrightarrow{}λ=x/2 \)
\( -4y=-2λ \longrightarrow{}y=λ/2 \)
\( -8z=4λ \longrightarrow{} z=-λ/2 \)

Saludos.

Está todo muy bien planteado, ¿alguna duda?

[Luis Fuentes]

Hola

 Para terminar te falta sustituir:

\(  x=2\lambda,\quad y=\lambda/2,\quad z=-\lambda/2 \)

 en la superficie y así hallar el punto donde el plano tangente cumple la condición pedida.

Saludos.

[mgranadosgg]

Hola y gracias.

Siguiendo sería...

Sustituir los valores de \( x,y,z \) obtenidos en la superficie \( F(x,y,z) \):

\( F(x,y,z)=x^2-2y^2-4z^2=16 \longrightarrow{} (2λ)^2-2.(λ/2)^2-4.(-λ/2)^2-16=0 \longrightarrow{} 4λ^2+λ-16=0 \longrightarrow{} λ=\displaystyle\frac{-1±\sqrt[ ]{257}}{8} \)

¿Es correcto?

Saludos.

[robinlambada]

Hola.

Hola y gracias.

Siguiendo sería...

Sustituir los valores de \( x,y,z \) obtenidos en la superficie \( F(x,y,z) \):

\( F(x,y,z)=x^2-2y^2-4z^2=16 \longrightarrow{} (2λ)^2-2.(λ/2)^2-4.(-λ/2)^2-16=0 \longrightarrow{} 4λ^2+λ-16=0 \longrightarrow{} λ=\displaystyle\frac{-1±\sqrt[ ]{257}}{8} \)

¿Es correcto?

Saludos.

No has hecho bien las cuentas:
\( F(x,y,z)=x^2-2y^2-4z^2=16 \longrightarrow{} (2λ)^2-2.(λ/2)^2-4.(-λ/2)^2=16\longrightarrow{} 4λ^2-\dfrac 64 \lambda ^2=16 \longrightarrow{} λ=±\dfrac 45\sqrt[ ]{10} \)

Saludos.

[mgranadosgg]

Entonces sería:

Sustituir \( λ \)  en las ecuaciones paramétricas:

\( P_1=(2·\displaystyle\frac{4\sqrt[ ]{10}}{5}, \displaystyle\frac{1}{2}·\displaystyle\frac{4\sqrt[ ]{10}}{5}, \displaystyle\frac{-1}{2}·\displaystyle\frac{4\sqrt[ ]{10}}{5}) \)

\( P_2=(2·\displaystyle\frac{-4\sqrt[ ]{10}}{5}, \displaystyle\frac{1}{2}·\displaystyle\frac{-4\sqrt[ ]{10}}{5}, \displaystyle\frac{-1}{2}·\displaystyle\frac{-4\sqrt[ ]{10}}{5}) \)

Desarrollando:

\( P_1=(\displaystyle\frac{8\sqrt[ ]{10}}{5}, \displaystyle\frac{2\sqrt[ ]{10}}{5}, \displaystyle\frac{-2\sqrt[ ]{10}}{5}) \)

\( P_2=(\displaystyle\frac{-8\sqrt[ ]{10}}{5}, \displaystyle\frac{-2\sqrt[ ]{10}}{5}, \displaystyle\frac{2\sqrt[ ]{10}}{5}) \)

Simplificando:

\( P_1=(\displaystyle\frac{8\sqrt[ ]{2}}{\sqrt[ ]{5}}, \displaystyle\frac{2\sqrt[ ]{2}}{\sqrt[ ]{5}}, \displaystyle\frac{-2\sqrt[ ]{2}}{\sqrt[ ]{5}}) \)

\( P_2=(\displaystyle\frac{-8\sqrt[ ]{2}}{\sqrt[ ]{5}}, \displaystyle\frac{-2\sqrt[ ]{2}}{\sqrt[ ]{5}}, \displaystyle\frac{2\sqrt[ ]{2}}{\sqrt[ ]{5}}) \)

Saludos.

[robinlambada]

Correcto.

Spoiler

[cerrar]

Saludos.