[javoros]

Hola,

Estuve tratando de hacer este ejercicio,

Sea \(  x^* \)  un vector en \(  \mathbb{R}^n \) , \( g^k \)  una sucesión de vectores no nulos de \(  \mathbb{R}^n \), y    \(  Y^k  \) una sucesión acotada de numeros reales positivos. Se define la sucesión  \(  T^k  \) en  \(  \mathbb{R}^n \)mediante:

\(  T^k := x^* + Y^k \frac {g^k} {||g^k||}   \) para cada \(  k \in{} N.  \)

Pruebe que:
1 \(  T^k   \) posee alguna subsucsesión convergente.
2 Si \(  Y^k \longrightarrow{} 0  \), justifique  \(  T^k   \) es convergente.

Y avancé hasta este punto:

1. Si es que posee una subsucesión convergente entonces esta sucesión debe ser acotada, por ende tendría que demostrar que la sucesión en todas sus partes tiene límite, el problema está cuando trato de obtener el límite de \( g^k \) dado que no tengo información en lo absoluto y no se por donde abordarlo, dado que los otros límites de alguna manera existen
2. No termino de comprender si la propiedad de que un vector por un escalar pueda ser extrapolable a  \( Y^k \frac {g^k} {||g^k||}  \) dado que  \( Y^k  \) es una sucesión acotada de números reales positivos.

Muchas gracias por su apoyo

[Masacroso]

Hola,

Estuve tratando de hacer este ejercicio,

Sea \(  x^* \)  un vector en \(  \mathbb{R}^n \) , \( g^k \)  una sucesión de vectores no nulos de \(  \mathbb{R}^n \), y    \(  Y^k  \) una sucesión acotada de numeros reales positivos. Se define la sucesión  \(  T^k  \) en  \(  \mathbb{R}^n \)mediante:

\(  T^k := x^* + Y^k \frac {g^k} {||g^k||}   \) para cada \(  k \in{} N.  \)

Pruebe que:
1 \(  T^k   \) posee alguna subsucsesión convergente.
2 Si \(  Y^k \longrightarrow{} 0  \), justifique  \(  T^k   \) es convergente.

Y avancé hasta este punto:

1. Si es que posee una subsucesión convergente entonces esta sucesión debe ser acotada, por ende tendría que demostrar que la sucesión en todas sus partes tiene límite, el problema está cuando trato de obtener el límite de \( g^k \) dado que no tengo información en lo absoluto y no se por donde abordarlo, dado que los otros límites de alguna manera existen
2. No termino de comprender si la propiedad de que un vector por un escalar pueda ser extrapolable a  \( Y^k \frac {g^k} {||g^k||}  \) dado que  \( Y^k  \) es una sucesión acotada de números reales positivos.

Muchas gracias por su apoyo

Una sucesión en \( \mathbb{R}^n \) converge si y solo si converge cada una de sus coordenadas. Entonces el ejercicio se resume a considerar sucesiones en \( \mathbb{R} \). En ese caso, si tienes una sucesión acotada o bien la sucesión, como conjunto, es un conjunto cerrado o no lo es. Si es cerrado entonces es un conjunto compacto, por tanto tiene al menos una subsucesión convergente, y si no es cerrado entonces posee un punto límite finito, es decir, contiene una sucesión convergente.

Para el apartado 2: observa que si \( \{a_n\}_{n\in \mathbb N} \) es una sucesión nula y \( \{b_n\}_{n\in \mathbb N} \) una sucesión acotada entonces existe un \( C>0 \) tal que \( |a_n b_n|\leqslant C|a_n| \) para todo \( n\in \mathbb N  \). Creo que con lo dicho ya puedes terminar esta parte del ejercicio también.

[Luis Fuentes]

Hola

 Directamente en \( \Bbb R^n \).

Estuve tratando de hacer este ejercicio,

Sea \(  x^* \)  un vector en \(  \mathbb{R}^n \) , \( g^k \)  una sucesión de vectores no nulos de \(  \mathbb{R}^n \), y    \(  Y^k  \) una sucesión acotada de numeros reales positivos. Se define la sucesión  \(  T^k  \) en  \(  \mathbb{R}^n \)mediante:

\(  T^k := x^* + Y^k \frac {g^k} {||g^k||}   \) para cada \(  k \in{} N.  \)

Pruebe que:
1 \(  T^k   \) posee alguna subsucsesión convergente.

Simplemente por el teorema de Bolzano-Weirstrass toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.

En tu caso la distancia de los puntos de la sucesión a \( x^* \) es:

\( \|T^k-x^*\|=\left\| Y^k\dfrac{g^k}{\|g^k\|}\right\|=|Y^k| \)  (*)

dado que \( Y^k  \)está acotada (pongamos por \( M \)) la sucesión está contenida en la bola \( B(x^*,M) \).

2 Si \(  Y^k \longrightarrow{} 0  \), justifique  \(  T^k   \) es convergente.

Es inmediato de (*).

Saludos.

P.D. En realidad la clave de todo es que \( \dfrac{g^k}{\|g^k\|} \) es siempre un valor unitario.