Hola
Hola tengo dudas con este ejercicio
Sean \( (M,d) \) ,\( (N,\bar{d}) \) dos espacios métricos. Sean \( f,g:M\rightarrow{N} \) funciones continuas. Sea \( A=\{ x \in M: f(x)=f(y) \} \) y \( S \) subconjunto denso en \( M \)
Demuestre que \( A \) es cerrado y que si \( f(x)=f(y) \forall x\in S, \; entonces \; A=M \)
Primero tengo que ver que si es cerrado es igual a su clausura no se muy bien como hacerlo y para este punto \( f(x)=f(y) \) de aqui solo puedo concluir que la función es inyectiva.
De antemano gracias
Revisa el enunciado. Yo creo que es:
\( A=\{ x \in M: f(x)\color{red}=g(x)\color{black} \} \)
Tienes que ver que si \( \{x_n\}\to x \) en \( M \) y \( x_n\in A \) (para todo \( n\in \Bbb N \)) entonces \( x\in A \).
Ahora como \( x_n\in A \) tienes que \( f(x_n)=g(y_n) \). Como ambas funciones son continuas son secuencialmente continuas:
\( \{f(x_n)\}\to f(x),\qquad \{g(x_n)\}\to g(x) \)
y por tanto como \( f(x_n)=g(y_n) \), entonces \( f(x)=g(x) \) y así \( x\in A \).
La segunda parte igualmente creo que debería de decir:
si \( f(x)=\color{red}g(x)\color{black} \forall x\in S, \; entonces \; A=M \)
Y es inmediata usando la densidad de \( S \), que \( S\subset A \) y que \( A \) es cerrado.
Saludos.
