Hola
Considere la sucesión \( f_n(t) \; en \; C[-1,1] \) definida
$$f_n(t) = \left \{ \begin{matrix} 0 & \mbox{si }-1 \leq{} t \leq{} 0
\\ nt, & \mbox{si } 0 < t < 1/n \\ 1 & \mbox{si }1/n \leq{} t \leq{} 1\end{matrix}\right. $$
En \( C[0,1] \) ponga la metrica integral \( d(f,g) \) definida
$$d(f,g) = \displaystyle\int_{-1}^{1} |f(t) - g(t)|^2 dt$$
Demuestre que \( f_n \) es sucesión de Cauchy $C[0,1]$ no convergente
No se si quieres decir en \( C[0,1] \) o en \( C[-1,1] \). Aunque dado que las funciones se anulan en \( [-1,0] \) no hay diferencia.
Además a la métrica o le sobra el cuadrado o le falta la raíz cuadrada:
\( d(f,g) =\color{red}\left( \displaystyle\int_{-1}^{1} |f(t) - g(t)|^2 dt\right)^{1/2}\color{black} \)
Para ver que es de Cauchy ten en cuenta que dados \( n\geq m \) la diferencia \( |f_n(x)-f_m(x)| \) es nula excepto en \( (0,1/m) \). En ese entorno dado que las dos funciones toman valores en \( [0,1] \) la diferencia está acotada superiomente por \( 1 \). Por tanto:
\( d(f_n,f_m)^2=\displaystyle\int_{-1}^{1}|f_n(x)-f_m(x)|^2dx=\displaystyle\int_{0}^{1/m}|f_n(x)-f_m(x)|^2dx\leq \displaystyle\int_{0}^{1/m}1dx=\dfrac{1}{m} \)
Para la NO convergencia, ten en cuenta que si existiese límite tendría que coincidir con el límite puntual, pero este no es continuo.
Un gráfico de las funciones.
Saludos.
