[franma]

Buenas,

Nuevamente trancado en un ejercicio de energía  dice lo siguiente:

Una caja de masa M está fija al techo mediante un resorte, de constante k y longitud natural ln. Al principio, el resorte se comprime hasta tener una longitud ln/2. Si se suelta la caja, ¿a qué distancia abajo del techo llegará por  primera vez al reposo?



Lo que llevo hecho hasta el momento es:
Tome como referencia de la energía potencial gravitatoria el techo (ya que así lo recomendaba el ejercicio) y tome 2 instantes, el inicial con el resorte comprimido y cuando llega al reposo.
(x es la longitud total hasta el momento de reposo)

\( \displaystyle E_1=\frac{k(\frac{1}{2}ln)^2}{2} - mg(\frac{1}{2}ln) \)

\( \displaystyle E_2= -mgx + \frac{k(x-ln)^2}{2} \)

He intentado despejar x igualando ambas energías (ya que no actúan fuerzas no conservativas) pero no he logrado llegar a nada, tal vez tengo un error en el planteo de las energías, agradecería cualquier ayuda.

Saludos,
Franco.

[robinlambada]

Hola:

Spoiler

Buenas,

Nuevamente trancado en un ejercicio de energía  dice lo siguiente:

Una caja de masa M está fija al techo mediante un resorte, de constante k y longitud natural ln. Al principio, el resorte se comprime hasta tener una longitud ln/2. Si se suelta la caja, ¿a qué distancia abajo del techo llegará por  primera vez al reposo?



Lo que llevo hecho hasta el momento es:
Tome como referencia de la energía potencial gravitatoria el techo (ya que así lo recomendaba el ejercicio) y tome 2 instantes, el inicial con el resorte comprimido y cuando llega al reposo.
(x es la longitud total hasta el momento de reposo)

\( \displaystyle E_1=\frac{k(\frac{1}{2}ln)^2}{2} - mg(\frac{1}{2}ln) \)

\( \displaystyle E_2= -mgx + \frac{k(x-ln)^2}{2} \)

He intentado despejar x igualando ambas energías (ya que no actúan fuerzas no conservativas) pero no he logrado llegar a nada, tal vez tengo un error en el planteo de las energías, agradecería cualquier ayuda.

Saludos,
Franco.

[cerrar]

El problema está bien planteado, te has debido de equivocar al despejar la x, o no sabes cuando no hay datos concretos.

Debes igualar energías:  \( E_1=E_2 \), desarrollas el paréntesis \( (x-in)^2 \) , te queda una ecuación de 2º grado en "x", saca factor común la \( x^2 \), la \( x \) y el término independiente (todo lo que no tenga de factor ninguna "x" , te quedará \( ax^2 + bx +c=0  \)

Por último, utiliza la fórmula de las raíces de la ec. de 2ª grado, lo único que pasa es que queden en función de \( k,m, g\,\, y\, \,ln. \)

Saludos.

[franma]

Buenas Robin,

Hola:

Spoiler

Buenas,

Nuevamente trancado en un ejercicio de energía  dice lo siguiente:

Una caja de masa M está fija al techo mediante un resorte, de constante k y longitud natural ln. Al principio, el resorte se comprime hasta tener una longitud ln/2. Si se suelta la caja, ¿a qué distancia abajo del techo llegará por  primera vez al reposo?



Lo que llevo hecho hasta el momento es:
Tome como referencia de la energía potencial gravitatoria el techo (ya que así lo recomendaba el ejercicio) y tome 2 instantes, el inicial con el resorte comprimido y cuando llega al reposo.
(x es la longitud total hasta el momento de reposo)

\( \displaystyle E_1=\frac{k(\frac{1}{2}ln)^2}{2} - mg(\frac{1}{2}ln) \)

\( \displaystyle E_2= -mgx + \frac{k(x-ln)^2}{2} \)

He intentado despejar x igualando ambas energías (ya que no actúan fuerzas no conservativas) pero no he logrado llegar a nada, tal vez tengo un error en el planteo de las energías, agradecería cualquier ayuda.

Saludos,
Franco.

[cerrar]

El problema está bien planteado, te has debido de equivocar al despejar la x, o no sabes cuando no hay datos concretos.

Debes igualar energías:  \( E_1=E_2 \), desarrollas el paréntesis \( (x-in)^2 \) , te queda una ecuación de 2º grado en "x", saca factor común la \( x^2 \), la \( x \) y el término independiente (todo lo que no tenga de factor ninguna "x" , te quedará \( ax^2 + bx +c=0  \)

Por último, utiliza la fórmula de las raíces de la ec. de 2ª grado, lo único que pasa es que queden en función de \( k,m, g\,\, y\, \,ln. \)

Saludos.

Llegue a esto:

\( x^2(-k) + x(2mg + 2kln) - (mgln+ln^2-\frac{1}{4}kln) = 0 \)

Ahora con la formula para raíces de 2do grado:

\( \displaystyle \frac{-(2mg + 2kln) \pm \sqrt{ (2mg + 2kln)^2 +4k(-mgln-ln^2+\frac{1}{4}kln) }}{-2k} \)

Obviamente que debo operar para simplificar un poco la expresión, pero la solución correcta seria por ese camino?

"Simplificando" un poco mas y con ln=L:

\( \displaystyle \frac{-(2mg + 2kL) \pm \sqrt{ 4m^2g^2+4mgkL+k^2L-4kL^2 }}{-2k} \)

Saludos,
Franco.

[robinlambada]

Buenas Robin,

Hola:

Spoiler

Buenas,

Nuevamente trancado en un ejercicio de energía  dice lo siguiente:

Una caja de masa M está fija al techo mediante un resorte, de constante k y longitud natural ln. Al principio, el resorte se comprime hasta tener una longitud ln/2. Si se suelta la caja, ¿a qué distancia abajo del techo llegará por  primera vez al reposo?



Lo que llevo hecho hasta el momento es:
Tome como referencia de la energía potencial gravitatoria el techo (ya que así lo recomendaba el ejercicio) y tome 2 instantes, el inicial con el resorte comprimido y cuando llega al reposo.
(x es la longitud total hasta el momento de reposo)

\( \displaystyle E_1=\frac{k(\frac{1}{2}ln)^2}{2} - mg(\frac{1}{2}ln) \)

\( \displaystyle E_2= -mgx + \frac{k(x-ln)^2}{2} \)

He intentado despejar x igualando ambas energías (ya que no actúan fuerzas no conservativas) pero no he logrado llegar a nada, tal vez tengo un error en el planteo de las energías, agradecería cualquier ayuda.

Saludos,
Franco.

[cerrar]

El problema está bien planteado, te has debido de equivocar al despejar la x, o no sabes cuando no hay datos concretos.

Debes igualar energías:  \( E_1=E_2 \), desarrollas el paréntesis \( (x-in)^2 \) , te queda una ecuación de 2º grado en "x", saca factor común la \( x^2 \), la \( x \) y el término independiente (todo lo que no tenga de factor ninguna "x" , te quedará \( ax^2 + bx +c=0  \)

Por último, utiliza la fórmula de las raíces de la ec. de 2ª grado, lo único que pasa es que queden en función de \( k,m, g\,\, y\, \,ln. \)

Saludos.

Llegue a esto:

\( x^2(-k) + x(2mg + 2kln) - (mgln+\color{red}k\color{black}ln^2-\frac{1}{4}kln) = 0 \)

Ahora con la formula para raíces de 2do grado:

\( \displaystyle \frac{-(2mg + 2kln) \pm \sqrt{ (2mg + 2kln)^2 +4k(-mgln-ln^2+\frac{1}{4}kln) }}{-2k} \)

Obviamente que debo operar para simplificar un poco la expresión, pero la solución correcta seria por ese camino?

"Simplificando" un poco mas y con ln=L:

\( \displaystyle \frac{-(2mg + 2kL) \pm \sqrt{ 4m^2g^2+4mgkL+k^2L-4kL^2 }}{-2k} \)

Saludos,
Franco.

Te falta un factor \( k \) , delante del \( l^2 \), lo marqué en rojo.

Yo llego a:(corregido)

\( x^2 -2(b+l)x+\displaystyle\frac{3}{4}l^2+bl \)  ,  con \( b=\displaystyle\frac{mg}{k} \)

\( x=\displaystyle\frac{2(b+l)\pm{\sqrt[ ]{4(b+l)^2 -3l^2-4lb}}}{2}=\displaystyle\frac{2(b+l)\pm{\sqrt[ ]{(2b+l)^2}}}{2} \)
 
\( x_1=\displaystyle\frac{1}{2}l \)  y  \( x_2=\displaystyle\frac{4b+3l}{2} \)

Ahora solo te queda ver cual de las 2 soluciones es la correcta.

Saludos.

[JCB]

Hola a tod@s.

Lo planteé de la siguiente manera, pero si no se utiliza una agrupación de constantes (antes había escrito cambio de variable, por error) como ha hecho robinlambada con gran acierto, no hay manera de simplificar.

\( E_1=\dfrac{1}{2}k\left(\dfrac{l}{2}\right)^2-mg\dfrac{l}{2} \).

\( E_2=\dfrac{1}{2}k(\Delta y)^2-mg(l+\Delta y) \).

Saludos cordiales,
JCB.

[franma]

Buenas Robin,

Hola:

Spoiler

Buenas,

Nuevamente trancado en un ejercicio de energía  dice lo siguiente:

Una caja de masa M está fija al techo mediante un resorte, de constante k y longitud natural ln. Al principio, el resorte se comprime hasta tener una longitud ln/2. Si se suelta la caja, ¿a qué distancia abajo del techo llegará por  primera vez al reposo?



Lo que llevo hecho hasta el momento es:
Tome como referencia de la energía potencial gravitatoria el techo (ya que así lo recomendaba el ejercicio) y tome 2 instantes, el inicial con el resorte comprimido y cuando llega al reposo.
(x es la longitud total hasta el momento de reposo)

\( \displaystyle E_1=\frac{k(\frac{1}{2}ln)^2}{2} - mg(\frac{1}{2}ln) \)

\( \displaystyle E_2= -mgx + \frac{k(x-ln)^2}{2} \)

He intentado despejar x igualando ambas energías (ya que no actúan fuerzas no conservativas) pero no he logrado llegar a nada, tal vez tengo un error en el planteo de las energías, agradecería cualquier ayuda.

Saludos,
Franco.

[cerrar]

El problema está bien planteado, te has debido de equivocar al despejar la x, o no sabes cuando no hay datos concretos.

Debes igualar energías:  \( E_1=E_2 \), desarrollas el paréntesis \( (x-in)^2 \) , te queda una ecuación de 2º grado en "x", saca factor común la \( x^2 \), la \( x \) y el término independiente (todo lo que no tenga de factor ninguna "x" , te quedará \( ax^2 + bx +c=0  \)

Por último, utiliza la fórmula de las raíces de la ec. de 2ª grado, lo único que pasa es que queden en función de \( k,m, g\,\, y\, \,ln. \)

Saludos.

Llegue a esto:

\( x^2(-k) + x(2mg + 2kln) - (mgln+\color{red}k\color{black}ln^2-\frac{1}{4}kln) = 0 \)

Ahora con la formula para raíces de 2do grado:

\( \displaystyle \frac{-(2mg + 2kln) \pm \sqrt{ (2mg + 2kln)^2 +4k(-mgln-ln^2+\frac{1}{4}kln) }}{-2k} \)

Obviamente que debo operar para simplificar un poco la expresión, pero la solución correcta seria por ese camino?

"Simplificando" un poco mas y con ln=L:

\( \displaystyle \frac{-(2mg + 2kL) \pm \sqrt{ 4m^2g^2+4mgkL+k^2L-4kL^2 }}{-2k} \)

Saludos,
Franco.

Te falta un factor \( k \) , delante del \( l^2 \), lo marqué en rojo.

Yo llego a:(corregido)

\( x^2 -2(b+l)x+\displaystyle\frac{3}{4}l^2+bl \)  ,  con \( b=\displaystyle\frac{mg}{k} \)

\( x=\displaystyle\frac{2(b+l)\pm{\sqrt[ ]{4(b+l)^2 -3l^2-4lb}}}{2}=\displaystyle\frac{2(b+l)\pm{\sqrt[ ]{(2b+l)^2}}}{2} \)
 
\( x_1=\displaystyle\frac{1}{2}l \)  y  \( x_2=\displaystyle\frac{4b+3l}{2} \)

Ahora solo te queda ver cual de las 2 soluciones es la correcta.

Saludos.

Muchas gracias nuevamente por la ayuda, para encontrar la correcta, la verdad me la jugaría por la primera, ya que al remplazarla en la igualdad de energías original quedan iguales.
Si no es por eso, no tendría ni idea como decidir.

Saludos,
Franco.

[robinlambada]

\( x_1=\displaystyle\frac{1}{2}l \)  y  \( x_2=\displaystyle\frac{4b+3l}{2} \)

Ahora solo te queda ver cual de las 2 soluciones es la correcta.

Saludos.

Muchas gracias nuevamente por la ayuda, para encontrar la correcta, la verdad me la jugaría por la primera, ya que al remplazarla en la igualdad de energías original quedan iguales.
Si no es por eso, no tendría ni idea como decidir.

Saludos,
Franco.

Las dos son soluciones de la ecuación, si sustituyes en la ecuación de 2º grado la segunda solución también se cumple la igualdad.

Piénsalo un poco más, hay varios motivos, lee de nuevo lo que te piden, interpreta para que casos es válida las expresiones de la energía mecánica puesta y piensa en los posibles valores de la x.

Saludos.

[franma]

\( x_1=\displaystyle\frac{1}{2}l \)  y  \( x_2=\displaystyle\frac{4b+3l}{2} \)

Ahora solo te queda ver cual de las 2 soluciones es la correcta.

Saludos.

Muchas gracias nuevamente por la ayuda, para encontrar la correcta, la verdad me la jugaría por la primera, ya que al remplazarla en la igualdad de energías original quedan iguales.
Si no es por eso, no tendría ni idea como decidir.

Saludos,
Franco.

Las dos son soluciones de la ecuación, si sustituyes en la ecuación de 2º grado la segunda solución también se cumple la igualdad.

Piénsalo un poco más, hay varios motivos, lee de nuevo lo que te piden, interpreta para que casos es válida las expresiones de la energía mecánica puesta y piensa en los posibles valores de la x.

Saludos.

Pues ahora que lo dices… supongo que los dos puntos de reposo posibles serán entonces el inicio donde comienza en reposo y la posición mas baja antes de volver a subir, el \( \frac{ln}{2} \) entiendo ahora que será la posición inicial por lo que la respuesta correcta seria \( \frac{4b+3l}{2} \) que seria el punto mas bajo no?

Saludos,
Franco

[Richard R Richard]

La posición inicial \( x_i \) es la mitad de la longitud natural.
El punto de equilibrio del sistema estará más abajo de la longitud natural. El estiramiento en equilibrio es

\( \Delta L_{eq}=\dfrac{mg}{k} \)

La posición de equilibrio es

\( x_{eq}=ln+\Delta L_{eq} \)

La amplitud de la oscilación inicial entonces es


\( A=x_{eq}-x_i=ln/2+\Delta L_{eq} \)


La posición máxima es entonces

\( x_{max}=x_{eq}+A=ln+\Delta L_{eq}+ln/2+\Delta L_{eq} \)

\( x_{max}=\dfrac 32 ln+2\dfrac{mg}{k} \)

[franma]

Buenas Richard,

La posición inicial \( x_i \) es la mitad de la longitud natural.
El punto de equilibrio del sistema estará más abajo de la longitud natural. El estiramiento en equilibrio es

\( \Delta L_{eq}=\dfrac{mg}{k} \)

La posición de equilibrio es

\( x_{eq}=ln+\Delta L_{eq} \)

La amplitud de la oscilación inicial entonces es


\( A=x_{eq}-x_i=ln/2+\Delta L_{eq} \)


La posición máxima es entonces

\( x_{max}=x_{eq}+A=ln+\Delta L_{eq}+ln/2+\Delta L_{eq} \)

\( x_{max}=\dfrac 32 ln+2\dfrac{mg}{k} \)

Gracias por tu solución también, no he dado el tema que sea pero parece bastante mas rápido que el método de energías 
Hoy no es mi día con la física, creo que deberé repasar todos los temas desde cinemática (tengo prueba en unas semanas y me esta yendo fatal jeje)

Saludos y gracias a todos por la ayuda,
Franco.