Hola! Que tal? Me podrían dar una mano hallando la solución a este problema? Tengo dos ecuaciones con dos incógnitas K y L, mientras que a,P,w,e son todas constantes.
\begin{cases}{aP L^{a-1} K^{a}-w=0}&\text{}& \\aP L^{a} K^{a-1}-r=0 & \text{}& \end{cases}
Por supuesto, la solución queda en términos genéricos, lo único relevante es despejar las variables K y L en función de las constantes. No se en que me estoy equivocando, trate de despejar "a" de ambas ecuaciones y luego igualarlas pero el sistema no conduce a nada. ¿Me podrán ayudar? Gracias!
Nota: asumo que todos los elementos de las ecuaciones son números reales, es decir que no son matrices u otra cosa.
Supongamos que \( ap\neq 0 \), de otro modo el sistema estaría indefinido, o no tendría solución si \( w \) o \( r \) fuesen distintos ambos de cero. Ahora bien, si defines \( c_1:=\frac{w}{aP} \) y \( c_2:=\frac{r}{aP} \) entonces el sistema se puede re-escribir como
\( \displaystyle{
L^{a-1}K^a=c_1,\quad L^aK^{a-1}=c_2\tag1
} \)
De ahí deducimos que si \( c_1 \) es igual a cero entonces o bien \( L \) o \( K \) son siempre cero y necesariamente \( c_2=0 \) también, y viceversa, por tanto \( c_1=0\Leftrightarrow c_2=0 \). Por tanto supongamos que \( c_1\neq 0 \) por tanto \( c_2\neq 0 \) también de la equivalencia anterior, entonces de (1) tenemos que
\( \displaystyle{
c_1^{-1}L^{a-1}K^a=1,\quad c_2^{-1}L^aK^{a-1}=1\implies c_1^{-1}L^{a-1}K^a=c_2^{-1}L^aK^{a-1}\implies \frac{c_2}{c_1}K=L\tag2
} \)
A partir de ahí puedes sustituir \( L \) por \( \frac{c_2}{c_1}K \) en las ecuaciones originales y hallar el valor de \( K \), y finalmente usando la identidad al final de (2) hallar el valor de \( L \).
