Hola buenas! Me han enviado un ejercicio de libro resuelto pero la verdad tengo cero conocimientos en este tema y por lo que he visto el resultado del procedimiento que recibí no es el mismo al que muestra el libro, necesito ayuda para aclarar si está todo bien resuelto y en realidad yo me estoy pasando por alto algo en el resultado final o si en realidad este procedimiento está equivocado, gracias por la ayuda de antemano! Un saludo a todos.
(Adjunto imagen del ejercicio y solución del libro abajo)
Ahora el procedimiento:
-Formula del potencial creado de una carga en el punto P
\( dV=k\dfrac{dq}{l}=k\dfrac{\sigma dS}{l} \)
-Integrando la expresión extendida para obtener el potencial V en el punto P:
\( V=\displaystyle \int_SdV=\int_Sk\dfrac{dq}{l}=k\int_S \dfrac{\sigma dS}{l}=k\sigma \int_S \dfrac{dS}{l} \)
l= distancia en el punto
-Luego aplico la parametrización de la superficie cónica:
* Empiezo tomando una de las generatrices de la superficie cónica en el plano x=0. Si R es el radio del cono y H es su altura, la ecuación de esta generatriz vendrá dada por \( z' = \dfrac{H}{R}y' \) siendo su vector director \( \vec v_d=(0, R, H) \)
Por lo tanto:
\( x' = 0 \)
\( y' = Rt \)
\( z' = Ht \)
*Rotando la generatriz y convirtiendola:
\( (x, y, z) = (y_ccos\theta, y_csen\theta, z_c) \)
\( (x, y, z) = (Rtcos\theta, Rtsen\theta, Ht) \)
La ecuación parametrizada de esta superficie cónica será, pues:
\( \sigma (x,y,z)=(Rtcos\theta, Rtsen\theta, Ht)=\sigma(t, \theta) \)
- Vector tangente a la superficie cónica en la dirección del parámetro t:
\( \dfrac{\partial \sigma}{\partial t}=(Rcos\theta, Rsen\theta, H) \)
- vector tangente a la superficie cónica en la dirección del parámetro \( \theta \):
\( \dfrac{\partial \sigma}{\partial \theta}=(-Rtsen\theta, Rtcos \theta, 0) \)
- vector \( \vec n= \) perpendicular a la superficie cónica:
\( \begin{pmatrix}
\vec i &\vec j &\vec k\\
Rcos\theta &Rsen\theta &H\\
-Rtsen\theta &Rtcos\theta &0\\
\end{pmatrix} \)
Y efectuando este producto vectorial:
\( \vec n= (-RHtcos\theta, -RHtsen\theta, R^2t) \)
El vector dS será, entonces
\( \vec{dS}=\vec n\,dt\,d\theta=(-RHtcos\theta, -RHtsen\theta, R^2t)dt\,d\theta \)
Y su modulo:
\( dS=\sqrt{R^2H^2t^2+R^4t^2}\,dt\,d\theta=Rt\sqrt{H^2+R^2}dt\,d\theta=RLtdt\,d\theta \)
-Ahora realizando la siguiente integración:
\( \displaystyle{V=\int_SdV=k\int_S\dfrac{dq}{l}=k\sigma\int_S\dfrac{dS}{l}} \)
El vector de posición del punto A correspondiente a dq es \( \vec{OA}= (Rtcos\theta, Rtsen\theta, Ht) \)
Por lo tanto l= \( l=\sqrt{R^2t^2cos^2\theta+R^2t^2sen^2\theta+H^2t^2}=t\sqrt{R^2+H^2}=Lt \)
-límites de integración para\( \theta \) desde 0 a \( 2\pi \)
para t: desde \( t=0 \,\,(l=0) \) hasta \( t=1\,\,\,(l=L) \)
-La integral a realizar queda, entonces, definitivamente así:
\( V=\displaystyle {k\sigma \int_S\dfrac{dS}{l}=k\sigma \int_S\dfrac{RLt}{Lt}dt\,d\theta}=k\sigma \int_S Rdt\,d\theta \)
\( \displaystyle{V=k\sigma \int_S Rdt\,d\theta=k\sigma R\int_0^1dt\,\int_0^{2\pi} d\theta=2\pi k\sigma R=2\pi k\dfrac{Q}{\pi RL}R=\dfrac{Q}{2\pi\epsilon_0 L}}
\)
De nuevo gracias por tomarse la molestia de ayudarme!
