Hola
Sigma.
Antes que nada recuerda que debes escribir las fórmulas con $$\LaTeX$$. Dejo en el siguiente spoiler tu mensaje escrito en $$\LaTeX$$ pàra que puedas cambiarlo si aún no sabes.
Enunciado
7. Sean $$f: E \longrightarrow F$$ y $$h:E \longrightarrow H$$ funciones.
Demuestre que se tiene:
(a) Si $$h \circ f$$ es inyectiva entonces $$f$$ es inyectiva.
(b) Si $$h \circ f$$ es sobreyectiva entonces $$g$$ es sobreyectiva.
Antes que nada, ¿estás seguro de que el enunciado es así? No puedes considerar la composición $$h \circ f$$ sin aclarar antes si $$E=F$$ o al menos que $$F\subset E$$, ya que el conjunto final de $$f$$ y el inicial de $$h$$ han de ser el mismo. Por favor confirma que esto es así para las aplicaicones de tu enunciado. Además ¿quién es $$g$$?
Suponiendo que podamos considerar esa composición, voy a hacer el apartado (a).
Supongamos que $$h \circ f$$ es inyectiva y sean $$x,y \in E$$, tales que $$x \neq y$$. Puesto que $$h \circ f$$ es inyectiva se tiene que $$h \circ f(x) \neq h \circ f(y)$$, esto es $$h(f(x)) \neq h(f(y))$$ y por ser $$h$$ una aplicación se tendrá que $$f(x)\neq f(y)$$ y , en consecuencia, $$f$$ es inyectiva.
Para el apartado (b), supongo que con $$g$$ te refieres a $$h$$(Por favor, confirmame que es así). Supongamos que $$h \circ f$$ es sobreyectiva y sea $$z \in H$$, puesto que $$h \circ f $$ es sobreyectiva se tiene que existe $$a \in E$$ tal que $$h \circ f(a)=z$$, es decir, $$h(f(a))=z$$ y puesto que $$f(a) \in F$$ (Suponiendo que $$F\subseteq E$$, ya que , como he dicho antes si no aclaramos esto antes la composición no se podría considerar), se tiene que para todo $$z \in H$$ existe $$y \in F$$ tal que $$h(y)=z$$, en consecuencia, $$h$$ es sobreyectiva.
Saludos.
