Supongo que te refieres a suma de potencias de 2 distintas entre sí, porque si no es trivial.
Pon que \( n = 2^{e_n}+2^{e_{n-1}}+\cdots + 2^{e_1}+2^{e_0} \), donde podemos suponer que \( e_n>e_{n-1}>\cdots > e_1>e_0 \).
Si \( e_0\neq 0 \), entonces una expresión de \( n+1 \) como potencias de \( 2 \) es:
\( n+1 = 2^{e_n}+2^{e_{n-1}}+\cdots + 2^{e_1}+2^{e_0}+2^0 \)
Si \( e_0=0 \), sea \( k \) el mínimo natural que no aparece entre los \( e_i \), de modo que
\( e_0=0, e_1 = 1, \ldots, e_{k-1}=k-1 \), pero, o bien \( n=k-1 \) y no hay más exponentes, o bien \( e_k>k \). Entonces, como
\( 1+2+2^2\cdots + 2^{k-1} = 2^k-1 \),
tenemos que
\( n+1 = [2^{e_n}+2^{e_{n-1}}+\cdots + 2^{e_k}]+ 2^k-1 +1 = [2^{e_n}+2^{e_{n-1}}+\cdots + 2^{e_k}]+ 2^k \),
donde la parte entre corchetes será \( 0 \) si es que \( n=k-1 \).
