Hola
Para cada \( n\in \mathbb{N} \) sea \( f_n:]-1,1[ \to \mathbb{R} \) la función definida por \[ f_n(x)=\frac{x^n}{1-x^n} \quad \forall \ x \in ]-1,1[ \]
Necesito demostrar que la serie \( \sum_{n\geq 1} f_n \) converge absolutamente en \( ]-1,1[ \) y uniformemente en todo compacto \( K \subset ]-1,1[ \), pero no converge uniformemente en \( ]-1,1[ \)
Mi razonamiento es que tengo que calcular el radio e intervalo de convergencia de la serie de potencias \( f_n \)
Pero ojo, porque esta no es una serie de potencias.
Para la convergencia absoluta ten en cuenta que fijado \( x \) con \( |x|<1 \) tienes:
\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\dfrac{|x|^n}{1-x^n}\leq \color{red}\dfrac{1}{1-|x|}\color{black}\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}|x|^n<+\infty \)
(donde la convergencia de \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}|x|^n \) la conocemos por ser una serie geométrica con razón de módulo menor que \( 1 \))
Para la convergencia uniforme en un compacto, ten en cuenta que todo compacto \( K\subset (-1,1) \) está contenido en un intervalo cerrado y acotado \( [-\epsilon,\epsilon]\subset (-1,1) \).
Por tanto para todo \( x\in K\subset [-\epsilon,\epsilon]\subset (-1,1) \):
\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\dfrac{|x|^n}{1-x^n}\leq \color{red}\dfrac{1}{1-\epsilon}\color{black}\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}|\epsilon|^n<+\infty \)
Por el criterio mayorante de Weierstrass tienes la convergencia uniforme en \( K \).
Para la no convergencia uniforme en \( (1,-1) \) si llamas \( s_n=\displaystyle\sum_{i=1}^n{}f_n \) ten en cuenta que para \( n>m \):
\( |s_n(x)-s_m(x)|>\dfrac{x^n}{1-x^n} \) si \( x>0 \)
y ese cociente tiende a infinito cuando \( x\to 1^- \).
Por tanto:
\( \displaystyle \sup_{x\in(-1,1)}|s_n(x)-s_m(x)|=\infty \)
Saludos.
CORREGIDO
