[Xtimmler]

Hola, foro tengo el siguiente problema:

Un cilindro de masa \( M \) y radio \( R \) tiene enrollada una cuerda de peso despreciable. La cuerda pasa a través de una polea, también de masa despreciable, como muestra la figura. Calcular:

La aceleración de la masa.
Las condiciones bajo las cuales el cilindro desliza mientras gira.



Mi desarrollo es el siguiente:

\( \sum M_z=T·R + F_r ·R= \displaystyle\frac{1}{2}M·R^2 α \)

\( \sum F_{xM}=T - F_r   =M·a_M \)

\( \sum F_{ym}=mg - T   =M·a_m \)

Uno puede suponer que la aceleración en el borde del cilindro es igual al de la masa \( m \)

entonces: \( a_m= α·R \)

Pero lo que no entiendo es cuál sería la aceleración del cilindro.

Yo pensé que talvez estaba en rodadura entonces sería igual a la aceleración de la masa \( m \)

\( a_M= α·R \)

y con eso me termina dando

\( a_m=\displaystyle\frac{8mg}{8m+6M} \)

El problema es que el verdadero resultado es:

\( a_m=\displaystyle\frac{8mg}{8m+3M} \)

La cuenta la hice varias veces por lo cual sé que no es un error de cálculo.

Saludos.

[JCB]

Hola a tod@s.

1) Para la masa \( m \), \( \sum{F_y}=ma \),

\( mg-T=ma \),

\( T=mg-ma \) (1).

2) Para el cilindro, \( \sum{F_x}=Ma_G \),

\( -F_r+T=Ma_G \),

\( F_r=T-Ma_G \) (2).

3) Dinámica de la rotación para el cilindro, \( \sum{M_G}=I_G\alpha \),

\( TR+F_rR=\dfrac{1}{2}MR^2\dfrac{a_G}{R} \) (3).

4) También se cumple que \( a=2a_G \),

\( a_G=\dfrac{a}{2} \) (4).

Substituyendo (1), (2), y (4) en (3), y operando,

\( a=\dfrac{8mg}{8m+3M} \).

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Lo que han respondido o la solución que propone el solucionarlo es la basada de condición de rodadura.


pero si hay deslizamiento hay dos soluciones posibles


que el coeficiente de rozamiento sea  muy bajo y la masa del cilindro lo bastante pequeña para que desenrolle mas rápido de lo que avanza su CM  con lo que la fuerza de rozamiento iría en sentido contrario al propuesto.( de esta situacion no se si hay rangos de parámetros que la sustenten)
O que el coeficiente de rozamiento sea  mas alto y la masa del cilindro lo bastante grande para que desenrolle mas lento de lo que avanza su CM  con lo que la fuerza de rozamiento iria en el sentido al propuesto.


como hay perdida de energía por rozamiento  habrá ecuaciones de energía.


y también si la soga es inextensible se cumplirá que  \( \alpha R+a_M=a_m \)


Todavía no encontré todas la ecuaciones que me libren de todas las incógnitas.

[robinlambada]

Lo que han respondido o la solución que propone el solucionarlo es la basada de condición de rodadura.

Exacto. Luego hay una pregunta respecto a rodadura y deslizamiento que no me queda clara, en todo caso apuntaría lo que has añadido al final que: \( \alpha R+a_M=a_m \)

pero si hay deslizamiento hay dos soluciones posibles


que el coeficiente de rozamiento sea  muy bajo y la masa del cilindro lo bastante pequeña para que desenrolle mas rápido de lo que avanza su CM  con lo que la fuerza de rozamiento iría en sentido contrario al propuesto.( de esta situacion no se si hay rangos de parámetros que la sustenten)
O que el coeficiente de rozamiento sea  mas alto y la masa del cilindro lo bastante grande para que desenrolle mas lento de lo que avanza su CM  con lo que la fuerza de rozamiento iria en el sentido al propuesto.


como hay perdida de energía por rozamiento  habrá ecuaciones de energía.


y también si la soga es inextensible se cumplirá que  \( \alpha R+a_M=a_m \)


Todavía no encontré todas la ecuaciones que me libren de todas las incógnitas.

Interesante lo que propones que el sentido de la fuerza de rozamiento sea el mismo que el de la aceleración del centro de masa, esto ocurriría si en el punto de rodadura la velocidad neta se opone a la del centro de masa, es decir cuando \( \alpha R>a_G \) (*)    con \( a_G=a_M \)

Se podría comprobar si se puede dar la desigualdad (*), viendo el caso límite sin rozamiento y comprobar si en ese caso \( \alpha R>a_G \) , si resultara que fuera al contrario  \( \alpha R\leq{}a_G \) , entonces no podría darse nunca el caso que propones que la fuerza de rozamiento tenga el sentido de la aceleración del centro de masas del cilindro.

Si luego tengo tiempo lo calculo ( el caso sin rozamiento).

Saludos.

[robinlambada]

Me cito a mi mismo.

Interesante lo que propones que el sentido de la fuerza de rozamiento sea el mismo que el de la aceleración del centro de masa, esto ocurriría si en el punto de rodadura la velocidad neta se opone a la del centro de masa, es decir cuando \( \alpha R>a_G \) (*)    con \( a_G=a_M \)

Se podría comprobar si se puede dar la desigualdad (*), viendo el caso límite sin rozamiento y comprobar si en ese caso \( \alpha R>a_G \) , si resultara que fuera al contrario  \( \alpha R\leq{}a_G \) , entonces no podría darse nunca el caso que propones que la fuerza de rozamiento tenga el sentido de la aceleración del centro de masas del cilindro.

Si luego tengo tiempo lo calculo ( el caso sin rozamiento).

Saludos.

He comprobado que si no hay rozamiento entonces la aceleración del centro de masas es exactamente la mitad de la aceleración( debido al giro) de cualquier punto exterior del cilindro, es decir:

Sin rozamiento para M tenemos que \( 2a_M=R\alpha \)

Por tanto como plantea Richard, si la fuerza de rozamiento es lo suficientemente pequeña, esta sería en sentido opuesto ( osea en sentido del movimiento del centro de masas)

Saludos.

[Richard R Richard]

He comprobado que si no hay rozamiento entonces la aceleración del centro de masas es exactamente la mitad de la aceleración( debido al giro) de cualquier punto exterior del cilindro, es decir:

Sin rozamiento para M tenemos que \( 2a_M=R\alpha \)

Varias veces hice el intento en hallar en que ratio de masas vs coeficiente de fricción esta el punto donde se produce el cambio, y no lo he hallado fundamentalmente a que cuando el deslizamiento tiene que cambiar de signo(es decir invertir el sentido de la flecha del vector fuerza de rozamiento), pasa por 0 que no es la condición de rodadura, si no la ideal sin fricción. Que a fines prácticos nunca sucede,
También la fricción estática da un rango e aceleraciones donde la rodadura se mantiene... todo ello con lleva a pensar datos que ni siquiera son aportados por el enunciado, y entonces ponérselos a inventar quizá no tiene siquiera interés para el que abre el hilo , sino mas bien satisfacer la propia curiosidad.

[JCB]

Hola a tod@s.

Una vez resuelta la primera pregunta del ejercicio (“La aceleración de la masa”), ahora queda por resolver la segunda pregunta: “Las condiciones bajo las cuales el cilindro desliza mientras gira”. Para ello, y recordando el apartado 2) de la respuesta # 1,

\( F_r=T-Ma_G=mg-ma-M\dfrac{a}{2} \). Substituyendo \( a=\dfrac{8mg}{8m+3M} \) y operando,
\( F_r=-\dfrac{Mmg}{8m+3M} \). Ahora no voy a entrar en ello, pero se da la paradoja que la fuerza de rozamiento, tiene el sentido contrario al inicialmente supuesto. A partir de aquí considero el módulo de \( F_r \).

Para que el cilindro deslice, la fuerza de rozamiento debe superar a la máxima fuerza de rozamiento estático,

\( F_r>\mu_e Mg \),

\( \mu_e<\dfrac{F_r}{Mg} \),

\( \mu_e<\dfrac{m}{8m+3M} \). Finalmente, esta es la condición para que el cilindro deslice mientras gira.

Saludos cordiales,
JCB.

[Xtimmler]

Hola a tod@s.

Una vez resuelta la primera pregunta del ejercicio (“La aceleración de la masa”), ahora queda por resolver la segunda pregunta: “Las condiciones bajo las cuales el cilindro desliza mientras gira”. Para ello, y recordando el apartado 2) de la respuesta # 1,

\( F_r=T-Ma_G=mg-ma-M\dfrac{a}{2} \). Substituyendo \( a=\dfrac{8mg}{8m+3M} \) y operando,
\( F_r=-\dfrac{Mmg}{8m+3M} \). Ahora no voy a entrar en ello, pero se da la paradoja que la fuerza de rozamiento, tiene el sentido contrario al inicialmente supuesto. A partir de aquí considero el módulo de \( F_r \).

Para que el cilindro deslice, la fuerza de rozamiento debe superar a la máxima fuerza de rozamiento estático,

\( F_r>\mu_e Mg \),

\( \mu_e<\dfrac{F_r}{Mg} \),

\( \mu_e<\dfrac{m}{8m+3M} \). Finalmente, esta es la condición para que el cilindro deslice mientras gira.

Saludos cordiales,
JCB.

Gracias ambas resoluciones están en lo correcto

Saludos.