[Xtimmler]

Hola, foro tengo el siguiente problema:

Desde un montículo liso, de altura \( h \), un pequeño cuerpo de masa \( m  \)resbala a partir del reposo y cae sobre una tabla de masa \( M \) situada sobre un plano horizontal liso, en la base del montículo. A causa del rozamiento entre el cuerpo y la tabla, el primero se frena y a, partir de cierto momento, se mueve como un todo con la misma velocidad junto con la tabla. Hallar el trabajo total de la fuerza de roce en este proceso.



Yo lo pensé como que el trabajo del roce es la variación de la energía mecánica.

Trabajo de la fricción sobre m \( = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2-mgh \)

Trabajo de la fricción sobre M \( = \displaystyle\frac{1}{2}Mv^2 \)

y su suma seria: \( \displaystyle\frac{1}{2}v(m+M)-mgh \)

\( v \) es la velocidad de ambos cuando se mueven juntos.

El problema es que no sé bien como sacar esa velocidad.

El módulo da que la suma de esos trabajos es: \( -\displaystyle\frac{mMgh}{(m+M)} \)

Saludos.

[robinlambada]

Hola.

Hola, foro tengo el siguiente problema:

Desde un montículo liso, de altura \( h \), un pequeño cuerpo de masa \( m  \)resbala a partir del reposo y cae sobre una tabla de masa \( M \) situada sobre un plano horizontal liso, en la base del montículo. A causa del rozamiento entre el cuerpo y la tabla, el primero se frena y a, partir de cierto momento, se mueve como un todo con la misma velocidad junto con la tabla. Hallar el trabajo total de la fuerza de roce en este proceso.



Yo lo pensé como que el trabajo del roce es la variación de la energía mecánica.

Trabajo de la fricción sobre m \( = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2-mgh \)

Trabajo de la fricción sobre M \( = \displaystyle\frac{1}{2}Mv^2 \)

y su suma seria: \( \displaystyle\frac{1}{2}v(m+M)-mgh \)

\( v \) es la velocidad de ambos cuando se mueven juntos.

El problema es que no sé bien como sacar esa velocidad.

El módulo da que la suma de esos trabajos es: \( -\displaystyle\frac{mMgh}{(m+M)} \)

Saludos.

Ya solo te queda usar dinámica y cinemática para halla la velocidad.

Por la 2ª ley de Newtón:
para  (m):
\( -\mu mg=ma_m \)  (1)

Cinemática: \( v=v_o +a_mt \) (2)

para  (M):
\( \mu mg=Ma_M \)   (3)

Cinemática: \( v=+a_Mt \) (4)


Las fuerzas de rozamiento que sufren las dos masas son iguales pero de sentido opuesto por el tercer principio ( acción y reacción)

Por ello si cogemos eje positivo "hacia la derecha", \( a_m<0 \) , \( v_o \) es la velocidad con que llega la masa pequeña m
 hasta la masa grande M.

De (1) y (2) obtenemos las aceleraciones de las masas en función de los parámetros iniciales.

sustituyendo estas en (3) y (4) además de eliminar el tiempo obtenemos \( v \) en función de los parámetros pedidos.

Saludos.

[JCB]

Hola a tod@s.

Seguramente habrá otros caminos que lleven al resultado, pero diría que el método más rápido, es determinar la energía cinética antes y después de que \( m \) deslice sobre \( M \). La variación de la energía cinética, es el trabajo de la fuerza de rozamiento.

Justo antes de que \( m \) se deslice sobre \( M \), la velocidad de \( m \) es \( mgh=\dfrac{1}{2}mv^2 \), \( v=\sqrt{2gh} \).

Para determinar la velocidad final del conjunto \( m+M \), aplico la conservación de la cantidad de movimiento:

\( m\sqrt{2gh}+\cancel{MV}=(m+M)v_f \),

\( v_f=\dfrac{m\sqrt{2gh}}{m+M} \).

La energía cinética inicial (antes del deslizamiento) es \( Ec_i=\dfrac{1}{2}mv^2=mgh \).

La energía cinética final (después del deslizamiento) es \( Ec_f=\dfrac{1}{2}(m+M)v_f^2=\dfrac{m^2gh}{m+M} \).

\( W_r=Ec_f-Ec_i=\dfrac{m^2gh}{m+M}-mgh=\dfrac{-mMgh}{m+M} \).

Saludos cordiales,
JCB.

[Xtimmler]

Hola a tod@s.

Seguramente habrá otros caminos que lleven al resultado, pero diría que el método más rápido, es determinar la energía cinética antes y después de que \( m \) deslice sobre \( M \). La variación de la energía cinética, es el trabajo de la fuerza de rozamiento.

Justo antes de que \( m \) se deslice sobre \( M \), la velocidad de \( m \) es \( mgh=\dfrac{1}{2}mv^2 \), \( v=\sqrt{2gh} \).

Para determinar la velocidad final del conjunto \( m+M \), aplico la conservación de la cantidad de movimiento:

\( m\sqrt{2gh}+\cancel{MV}=(m+M)v_f \),

\( v_f=\dfrac{m\sqrt{2gh}}{m+M} \).

La energía cinética inicial (antes del deslizamiento) es \( Ec_i=\dfrac{1}{2}mv^2=mgh \).

La energía cinética final (después del deslizamiento) es \( Ec_f=\dfrac{1}{2}(m+M)v_f^2=\dfrac{m^2gh}{m+M} \).

\( W_r=Ec_f-Ec_i=\dfrac{m^2gh}{m+M}-mgh=\dfrac{-mMgh}{m+M} \).

Saludos cordiales,
JCB.

Justo todo eso iba a poner  en respuesta a lo de robinlambada

[JCB]

Hola a tod@s.

Como alternativa al método energético que he empleado, sería interesante llegar a la solución con el método basado en la Dinámica, que ha iniciado robinlambada. Lo que ocurre es que al ser un ejercicio no numérico, las expresiones se complican sobremanera. Si quieres, Xtimmler, podrías plantear un ejercicio numérico.

Saludos cordiales,
JCB.

[robinlambada]

Hola a tod@s.

Como alternativa al método energético que he empleado, sería interesante llegar a la solución con el método basado en la Dinámica, que ha iniciado robinlambada. Lo que ocurre es que al ser un ejercicio no numérico, las expresiones se complican sobremanera. Si quieres, Xtimmler, podrías plantear un ejercicio numérico.

Saludos cordiales,
JCB.

Es cierto que con la conservación del momento es más directo, pero las expresiones no se complican sobremanera, la solución es también bastante directa.

Sustituyendo (1) y (2) en (3) y (4)

\( v_f=\displaystyle\frac{\mu mg}{M}t \)

\( v_f-v_o=-\mu gt \)    ,   eliminando el tiempo.

\( v_f=v_o -\displaystyle\frac{M}{m}v_f\Leftrightarrow{}v_f=\displaystyle\frac{mv_o}{m+M} \)

Y por conservación de la energía llegamos a que \( v_o=\sqrt[ ]{2gh} \)

Saludos.

[JCB]

Hola a tod@s.

Disculpa, robinlambada, pero me refería a emplear el método de la Dinámica, para llegar al resultado final del trabajo de rozamiento, y no simplemente a las velocidades.

Saludos cordiales,
JCB.

[robinlambada]

Hola a tod@s.

Disculpa, robinlambada, pero me refería a emplear el método de la Dinámica, para llegar al resultado final del trabajo de rozamiento, y no simplemente a las velocidades.

Saludos cordiales,
JCB.

Pero es que las ecuaciones de Newton son de lo más sencillas y solo he utilizado la dinámica para poder calcular la velocidad final en función de los demás parámetros iniciales, pues también se calcula el trabajo como la pérdida de energía mecánica, no he propuesto en ningún momento  calcular el trabajo integrando la fuerza de rozamiento a lo largo de la trayectoria ( que se podría hacer).

Ya solo te queda usar dinámica y cinemática para halla la velocidad.
.......
.......
sustituyendo estas en (3) y (4) además de eliminar el tiempo obtenemos \( v \) en función de los parámetros pedidos.

[JCB]

Hola a tod@s.

Totalmente de acuerdo, robinlambada, he dicho lo de encontrar el resultado final del trabajo de la fuerza de rozamiento a través de la Dinámica (exclusivamente y prescindiendo del método energético), como un anhelo particular mío, y no en el sentido de que era una tarea pendiente tuya, por supuesto.

Por otra parte, he explorado este otro camino más agreste, pero, como he dicho en mi respuesta # 4, las expresiones se me han complicado porque el ejercicio no es numérico. Insisto: un ejercicio numérico facilitaría mucho las cosas.

Por si alguien quiere también explorar este camino, me he basado en que el trabajo de la fuerza de rozamiento se compone de dos términos: el primero es negativo y se emplea en desacelerar a la masa \( m \), mientras que el segundo es positivo y se emplea en acelerar a la masa \( M \). En mi desarrollo, no hace falta integrar nada.

Saludos cordiales,
JCB.

[robinlambada]

Hola a tod@s.

Totalmente de acuerdo, robinlambada, he dicho lo de encontrar el resultado final del trabajo de la fuerza de rozamiento a través de la Dinámica (exclusivamente y prescindiendo del método energético), como un anhelo particular mío, y no en el sentido de que era una tarea pendiente tuya, por supuesto.

Por otra parte, he explorado este otro camino más agreste, pero, como he dicho en mi respuesta # 4, las expresiones se me han complicado porque el ejercicio no es numérico. Insisto: un ejercicio numérico facilitaría mucho las cosas.

Por si alguien quiere también explorar este camino, yo me he basado en que el trabajo de la fuerza de rozamiento se compone de dos términos: el primero es negativo y se emplea en desacelerar a la masa \( m \), mientras que el segundo es positivo y se emplea en acelerar a la masa \( M \). En mi desarrollo, no hace falta integrar nada.

Saludos cordiales,
JCB.

Utilizando únicamente dinámica y cinemática.

El trabajo es \( W=\displaystyle\int_{a}^{b}\overrightarrow{Fr}\cdot{}\overrightarrow{dr}=W=\displaystyle\int_{0}^{t'}\overrightarrow{Fr}\cdot{}\overrightarrow{v_{rel}}dt \)

Por ser paralelos y en sentidos distintos: \( W=-\displaystyle\int_{0}^{t'}Fr\cdot{}vdt=-\mu mg\displaystyle\int_{0}^{t'}v_{rel}dt \)

\( v_{rel}=v_m-v_M \), es la velocidad relativa de la masa m respecto a la masa M

\( v_M=\displaystyle\frac{\mu mg}{M}t \)   y  \( v_m=v_o-\mu gt \) , restando  \( v_{rel}=v_o-\mu g\left({\displaystyle\frac{M+m}{M}}\right)t \)

Integrando:  \( W=-\mu mg\left[{v_ot'-\mu g\left({\displaystyle\frac{M+m}{M}}\right)\displaystyle\frac{t'^2}{2}}\right] \) (*)

El tiempo (\( t' \)) empleado en detenerse la masa m respecto a M se obtiene de  \( v_{rel}=v_o-\mu g\left({\displaystyle\frac{M+m}{M}}\right)t \) haciendo \( v_{rel}=0 \)

\( t'=\displaystyle\frac{Mv_o}{(m+M)\mu g} \) que introduciendolo en (*) y operando llegamos.

\( W=-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{v_o^2mM}{m+M} \) y remplazando \( v_o^2=2gh \) se llega a la expresión calculada con los teoremas de conservación.

Saludos.