[Sr.Gonza]

Determinar el valor de verdad y justificar.

1. Si f \( \mathbb{R}\to\mathbb{R} \)  y  \[ \displaystyle\lim_{x \to 2}{f(x)}=0 \], entonces \( f(2)=0 \)


2. Si una función definida en los reales no tiene recta tangente en \( (4,f(4)) \), entonces la función no es continua en \( x=4 \).

Editado desde la moderación del foro

[ingmarov]

Hola Sr. Gonza, bienvenido

Por esta vez edité tu mensaje, toma un tiempo para revisar las reglas del foro y el tutorial de LaTex.

Revisa lo siguiente

1)  \[ f(x)=\dfrac{(x-2)^2}{(x-2)} \]

y

2)  \[ f(x)=3+|x-4| \]


Saludos

[robinlambada]

Hola, bienvenido al foro.

Determinar el valor de verdad y justificar.

1. Si f \( \mathbb{R}\to\mathbb{R} \)  y  \[ \displaystyle\lim_{x \to 2}{f(x)}=0 \], entonces \( f(2)=0 \)


2. Si una función definida en los reales no tiene recta tangente en \( (4,f(4)) \), entonces la función no es continua en \( x=4 \).

Debes poner como título de tus hilos un mensaje más descriptivo respecto al contenido, para que nos hagamos una idea, titulos como necesito ayuda no son recomendables, no por ello obtienes antes tu ayuda.

En el primero te dicen que si existe el límite en un punto entonces es continua en ese punto,¿Es cierto? en caso de que sea falso, ¿Puedes poner un ejemplo de función con límite y no continua en un punto?

En el segundo te dicen que si la función no es derivable en un punto tampoco es continua en dicho punto. ¿Es esto cierto?¿puedes poner un ejemplo?
Para este apartado te sugiero que analices la función valor absoluto de \( x \) en cero. \( f(x)=|x| \)

Saludos.

P.D.: Se me adelanto ingmarov.

[Sr.Gonza]

Disculpen por lo de la imagen, intente usar la simbologia que hay aca pero no pude.

[Luis Fuentes]

Hola

Revisa lo siguiente

1)  \[ f(x)=\dfrac{(x-2)^2}{(x-2)} \]

 Ojo, porque ese contraejemplo no se adapta a las condiciones del enunciado.

1. Si f \( \mathbb{R}\to\mathbb{R} \)  y  \[ \displaystyle\lim_{x \to 2}{f(x)}=0 \], entonces \( f(2)=0 \)

 Allí se habla de una función definida en todo \( \mathbb{R} \) pero la función \( f(x)=\dfrac{(x-2)^2}{(x-2)} \) no está definida en \( x=2 \).

 Además para \( f(x)=\dfrac{(x-2)^2}{(x-2)} \), \( \displaystyle\lim_{x \to 2}{}f(x)=4 \).

 Como contraejemplo para la afirmación podría tomarse simplemente:

\( f(x)=\begin{cases}{0}&\text{si}& x\neq 2\\1 & \text{si}& x=2\end{cases} \)

Saludos.

[robinlambada]

Aclarando un poco más la cuestión ( por la duda que planteas por privado)

En el segundo ejemplo de Ingmarov
Teniendo en cuenta que:

\( |x-4|=\begin{cases}{-x+4}&\text{si}& x<4\\x-4 & \text{si}& x\geq{}4\end{cases} \)

-Calcula las derivadas laterales de \( f(x)=3+|x-4| \) en \(  x=4 \), comprueba que no es derivable en este punto.

- Comprueba si \( f(x) \) es continua en \(  x=4 \)
- Concluye.

Para el primero puedes tomar la función que te propone Luis.

- Calcula los límites laterales en \( x=2 \)
- Comprueba que no coinciden con \( f(2)=1 \)

Saludos.

[ingmarov]

Hola

Hola

Revisa lo siguiente

1)  \[ f(x)=\dfrac{(x-2)^2}{(x-2)} \]

 Ojo, porque ese contraejemplo no se adapta a las condiciones del enunciado.

...

Supongo que algo he entendido mal desde hace unos años. En la notación \[ f\,\mathbb{\color{blue}R}\to\mathbb{R} \] he entendido que el dominio de definición de f es un subconjunto de \[ \mathbb{\color{blue}R} \].
Entonces he estado equivocado. Me voy a leer sobre esto...

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Supongo que algo he entendido mal desde hace unos años. En la notación \[ f\,\mathbb{\color{blue}R}\to\mathbb{R} \] he entendido que el dominio de definición de f es un subconjunto de \[ \mathbb{\color{blue}R} \].
Entonces he estado equivocado. Me voy a leer sobre esto...

Veamos; como siempre digo las notaciones son convenios, acuerdos. La elección de una notación no es algo objetivo.

Entonces yo no digo que en algún libro no usen \[ f\,\mathbb{\color{blue}R}\to\mathbb{R} \] para denotar a una función que tiene por dominio un subconjunto de \( \Bbb R \). Pero en mi conocimiento no creo que sea lo más extendido; y no me parece además una buena notación, aunque eso es subjetivo.

Lo que si se usa es escribir, así con letra, "función real de variable real" para referirse a una función con dominio un subconjunto de los reales.

Saludos.