[Xtimmler]

Hola, foro tengo el siguiente problema que a pesar de ser muy sencillo no me da bien el resultado:

Como se ve en la figura, una bala de masa \( m \) y rapidez \( v \) atraviesa completamente el disco de un péndulo
de masa \( M \) y la bala emerge con una rapidez \( v/2 \) . El disco del péndulo está
suspendido por una varilla rígida de longitud y masa despreciable. ¿Cuál es el
valor mínimo de \( v \) tal que el disco del péndulo oscile todo un círculo vertical
completo?

Como no te dan el radio de disco yo supongo que se pensara como una partícula.

Entonces calculo la velocidad necesaria para que llegue al punto más alto por conservación de energía mecánica.

\( Mg2L = \displaystyle\frac{1}{2}Mv_f^2 \)
\( V_f = \sqrt[ ]{gL} \)

luego por conservación de momento

\( mvL = m\displaystyle\frac{v}{2}L + MLV_f \)
\( \displaystyle\frac{1}{2}mvL = ML\sqrt[ ]{gL} \)
\( v=\displaystyle\frac{2M\sqrt[ ]{gL}}{m} \)

el problema es que según el modulo el resultado es:

\( v=\displaystyle\frac{4M\sqrt[ ]{gL}}{m} \)

No sé si hice algo mal yo o entendí mal el enunciado.
Saludos.

[JCB]

Hola a tod@s.

Como ya has comprobado, hoy no ando muy fino, o sea, que no me hagas mucho caso, aunque lo plantearía así:

\( \dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{1}{2}m\left(\dfrac{v}{2}\right)^2+Mg2l \),

\( v=4\sqrt{\dfrac{Mgl}{3m}} \).

Saludos cordiales,
JCB.

[delmar]

Hola

Hay un error operativo un despiste \( v_f=2\sqrt[ ]{gL} \) lo que aplicas la conservación de la cantidad de movimiento angular es válido, se puede aplicar también la conservación de cantidad de movimiento lineal, mas no la conservación de la energía, parte de la energía se utiliza en perforar el disco y la otra parte en aumentar la velocidad del disco


Saludos

[Xtimmler]

Hola

Hay un error operativo un despiste \( v_f=2\sqrt[ ]{gL} \) lo que aplicas la conservación de la cantidad de movimiento angular es válido, se puede aplicar también la conservación de cantidad de movimiento lineal, más no la conservación de la energía, parte de la energía se utiliza en perforar el disco y la otra parte en aumentar la velocidad del disco


Saludos

Hola, la conservación de energía que hago es después de la perforación \( V_f \) es la velocidad después de la perforación.
¿como hiciste para llegar a que \( v_f \) tenga ese valor?

Saludos.

[delmar]

El método que has aplicado es correcto el error operativo esta en esta expresión :

Entonces calculo la velocidad necesaria para que llegue al punto más alto por conservación de energía mecánica.

\( Mg2L = \displaystyle\frac{1}{2}Mv_f^2 \)
\( V_f = \sqrt[ ]{gL} \)

Saludos.

De ahí sale que \( v_f=2\sqrt[ ]{gL} \)

Respecto al uso incorrecto de la conservación de la energía me refiero a aplicarla en la perforación del disco por la bala, como lo ha hecho JCB, en tu resolución no se ha realizado esa aplicación, en consecuencia el método es correcto.

Saludos

[Xtimmler]

\( Mg2L = \displaystyle\frac{1}{2}Mv_f^2 \)
\( V_f = \sqrt[ ]{gL} \)

De ahí sale que \( v_f=2\sqrt[ ]{gL} \)

Respecto al uso incorrecto de la conservación de la energía me refiero a aplicarla en la perforación del disco por la bala, como lo ha hecho JCB, en tu resolución no se ha realizado esa aplicación, en consecuencia el método es correcto.

Saludos

OHH 
Que despistado que soy pase el 2 dividiendo y no multiplicando.

Gracias.

[JCB]

Hola a tod@s.

Como ya has comprobado, hoy no ando muy fino, o sea, que no me hagas mucho caso, aunque lo plantearía así:

\( \dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{1}{2}m\left(\dfrac{v}{2}\right)^2+Mg2l \),

\( v=4\sqrt{\dfrac{Mgl}{3m}} \).

Saludos cordiales,
JCB.

Menos mal que ya os advertí que no andaba muy fino

[Richard R Richard]

Sin mirar nada previo yo primero calcularía la fracción de velocidad inicial que queda luego del impacto aplicando la conservación del momento lineal y la energía.

\( \frac12mv^2=\frac12m(v/2)^2+\frac12Mv_F^2 \)

\( mv=\dfrac{mv}{2}+Mv_F \)

De aquí calculo la velocidad Final en función de la inicial

Luego nuevamente por energía sabemos cuánta energía es necesaria para elevar la masa M hasta 2L

\( \frac 12Mv_F^2=Mg2L \)

Reemplaza el valor de la velocidad final de una en la otra y despeja la velocidad inicial.
Cómo la velocidad de salida de la bala ya se sabe es más sencillo calcular la de la masa M solo a partir de la conservación del momento lineal.

\( \frac 12M\left(\dfrac{mv}{2M}\right)^2=Mg2L \)

Solo resta despejar v

\( v=4\dfrac Mm \sqrt{gL} \)

[JCB]

Sin mirar nada previo yo primero calcularía la fracción de velocidad inicial que queda luego del impacto aplicando la conservación del momento lineal y la energía.

\( \frac12mv^2=\frac12m(v/2)^2+\frac12Mv_F^2 \)

\( mv=\dfrac{mv}{2}+Mv_F \)

De aquí calculo la velocidad Final en función de la inicial

Luego nuevamente por energía sabemos cuánta energía es necesaria para elevar la masa M hasta 2L

\( \frac 12Mv_F^2=Mg2L \)

Reemplaza el valor de la velocidad final de una en la otra y despeja la velocidad inicial.
Cómo la velocidad de salida de la bala ya se sabe es más sencillo calcular la de la masa M solo a partir de la conservación del momento lineal.

\( \frac 12M\left(\dfrac{mv}{2M}\right)^2=Mg2L \)

Solo resta despejar v

\( v=4\dfrac Mm \sqrt{gL} \)

Hola a tod@s.

Leo que Richard ha caído en la misma trampa que yo, al haber considerado que se conserva la energía cinética en el choque, aunque no lo ha tenido en cuenta y ha llegado (casualmente) a la solución correcta. Ya no me siento tan solo (ya lo dice el antiguo refrán: “mal de muchos, consuelo es”).

En otro orden de cosas, me ha quedado el gusanillo (como desquite) de determinar esa pérdida de energía cinética, a partir de los valores calculados de \( v \) y \( V \).

\( \Delta E_c=E_{cf}-E_{ci}=\dfrac{1}{2}m\left(\dfrac{v}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}MV^2-\dfrac{1}{2}mv^2=-\dfrac{6M^2gl}{m}+2Mgl \).

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Ni me había planteado comprobar si se conserva o no la energia. Visto que no como lo han demostrado , solo decir que siempre lo que se conserva es el momento lineal en cualquier problema de colisiones.
Lo interesante es que existe una relación límite de masas que hace físicamente el problema por sobre cuáles no, solo con aplicación de la ecuación de la transferencia de la energía en el impacto \( m<3M \) así la variación de Energía cinética es menor que 0 , siendo posible disipar en calor lo faltante.