[Asdfgh]

Buenas tardes.

Practicando para mi prueba de convergencia en sucesiones de funciones, me he encontrado este ejercicio
que no sé como resolver. Sé que probablemente será sencillo, pero es mi primera
asignatura con sucesiones de funciones y me está costando un poco.

Cualquier ayuda me es útil.

Para cada \( n \in \mathbb{N} \) sea \( f_n:[0,\pi /2] \to \mathbb{R} \) la función definida por  \[ f_n(x)=n(cos(x))^n sen(x) \quad \forall \ x \in [0,\pi /2] \]

Fijado un \( \alpha \in \mathbb{R} \) con \( 0 < \alpha < \pi / 2 \), probar que la sucesión \( \{f_n\} \) converge uniformemente en el intervalo \( [\alpha, \pi /2] \), pero no en el intervalo \( [0,\alpha] \)

Gracias por su atención.

[Luis Fuentes]

Hola

Practicando para mi prueba de convergencia en sucesiones de funciones, me he encontrado este ejercicio
que no sé como resolver. Sé que probablemente será sencillo, pero es mi primera
asignatura con sucesiones de funciones y me está costando un poco.

Cualquier ayuda me es útil.

Para cada \( n \in \mathbb{N} \) sea \( f_n:[0,\pi /2] \to \mathbb{R} \) la función definida por  \[ f_n(x)=n(cos(x))^n sen(x) \quad \forall \ x \in [0,\pi /2] \]

Fijado un \( \alpha \in \mathbb{R} \) con \( 0 < \alpha < \pi / 2 \), probar que la sucesión \( \{f_n\} \) converge uniformemente en el intervalo \( [\alpha, \pi /2] \), pero no en el intervalo \( [0,\alpha] \)

1) Comprueba que la sucesión converge puntualmente a la función constante cero en todo el intervalo \( [0,\pi/2] \).

2) Para la convergencia uniforme en \( [\alpha,\pi/2] \) nota que si \( x\in [\alpha,\pi/2] \) con \( \alpha>0 \) entonces:

\( |f_n(x)|=|n(cos(x))^n sen(x)|\leq |n(cos(\alpha))^n| \)

y la sucesión \( |n(cos(\alpha))^n| \) que ya no depende de \( x \), converge a cero.

3) Para la NO convergencia uniforme en \( [0,\pi/2] \) analiza que ocurre sobre los puntos \( a_n=1/n \). En concreto el valor de \( f_n(a_n) \).

Un dibujo ilustrativo:


Saludos.

[Asdfgh]

Buenas Luis, ya he hecho todo como me has indicado pero sigo teniendo problemas para probar que \( g_n(1/n)=nsen(1/n)(cos(1/n))^n \) no converge a 0 el cual es el límite puntual.

He visto en algún sitio que \( \{nsen(1/n)\}\to 1 \) y que la otra parte está acotada pero sigo sin verlo, si puedes indicarme
el procedimiento explícitamente te lo agradezco.

Un saludo.

[Juan Pablo Sancho]

Tiene que \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sen(x)}{x} = 1  \)
Entonces:
Editado
\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} n \cdot \sen(\dfrac{1}{n}) = \lim_{n \to \color{red}+\infty\color{black}}\dfrac{\sen(\dfrac{1}{n})}{\dfrac{1}{n}}= 1 \)

El límite \( \displaystyle (cos(1/n))^n  \) es del tipo \( 1^{+\infty} \) que en este caso:

\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} (\cos(1/n))^n =\lim_{n \to +\infty} ((1+(\cos(1/n)-1))^{\dfrac{1}{\cos(1/n)-1}})^{\dfrac{\cos(1/n)-1}{1/n}} = e^0 = 1  \)

Esto último sucede por ser \( \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos(x)}{\dfrac{1}{2} \cdot x^2} = 1 \)

[Asdfgh]

Gracias de nuevo, en el primero no sería 1/n ->0?? Has puesto n->0

[Juan Pablo Sancho]

Tienes razón ahora lo edito.