Hola.
Dejo en el spoiler tu mensaje con las ecuaciones escritas en $$\LaTeX$$, deberías acostumbrarte a hacerlo para que el resto de usuarios pueda entender con precisión tu mensaje.
Spoiler
Dadas las rectas $$L_1 : (3,-3,6)+ \lambda \cdot (1,-1,2)$$ y $$L_2: (4,-4,10)+ \mu \cdot (1,1,1)$$ con $$\lambda , \mu \in \Bbb{R}$$, el plano $$\Pi:x-2y+z=5$$ y el punto $$P :(2,-2,4)$$. Marcar, si hubiere, la(s) afirmacion(es)
correcta(s):
(a) $$d(L_1,\Pi)=d(P,L_1)$$
(b) $$d(P,\Pi)=2 \cdot d(P,L_1)$$
(c) $$L_1 \cap L_2 = S$$ (Punto)
De estas afirmaciones el a y c son correctas no? Muchas Gracias chicos.
Vamos a empezar por la afirmación (a):
Puedes ver que el punto $$P$$ pertenece a la recta $$L_1$$, luego $$d(P,L_1)=0$$.
Vamos a ver ahora si $$L_1 \cap \Pi \not= \emptyset$$, ya que de ser así $$d(L_1,\Pi)=0$$.
Las ecuaciones paramétricas de $$L_1$$ son:
$$
\left\{
\begin{array}{lcr}
x=3+ \lambda\\
y=-3-\lambda\\
z=6+2\lambda
\end{array}
\right.
$$
Sustituyendo en la ecuación de $$\Pi$$ tenemos que $$15+ 5\lambda=5$$; de donde $$\lambda=-2$$ y sustituyendo de nuevo en las paramétricas de $$L_1$$ nos queda que $$L_1 \cap \Pi=\{(1,-1,2)\}$$
Por lo tanto tenemos que $$d(L_1,\Pi)=d(P,L_1)=0$$ y concluimos que la afirmación (a) es cierta.
Vamos ahora con la afirmación (b):
Como ya vimos antes $$d(L_1,P)=0$$. Además sustituyendo las coordenadas de $$P$$ en la ecuación de $$\Pi$$ nos queda $$2+4+4\not=5$$, luego $$P$$ no pertenece al plano $$\Pi$$, por lo que podemos deducir que $$d(P,\Pi)\not=0$$.
Concluimos que $$d(P,\Pi)\not=2 \cdot d(L_1,P)$$ y por lo tanto la afirmación (b) es falsa.
Vamos a ver, por último, la afirmación (c):
Sean $$\vec{d_{L_1}}=(1,-1,2)$$ y $$\vec{d_{L_2}}=(1,1,1)$$ los vectores directores de $$L_1$$ y $$L_2$$ respectivamente. Puesto que $$\vec{d_{L_1}}$$ y $$\vec{d_{L_2}}$$ no son proporcionales entre sí, puedo deducir que las rectas no son paralelas. Ahora voy a tomar el punto $$Q_1=(3,-3,6)$$ que pertenece a $$L_1$$ y el punto $$Q_2=(4,-4,10)$$ que pertenece a $$L_2$$. El vector formado por estos dos puntos es $$\vec{Q_1Q_2}=(1,-1,4)$$.
Ahora la cosa está en ver si los vectores $$\vec{d_{L_1}}$$,$$\vec{d_{L_2}}$$,$$\vec{Q_1Q_2}$$ son linealmente indenpendientes entre sí o no.
Puesto que $$
\left|
\begin{array}{cc}
1&-1 &2\\
1 &1 &1\\
4 &-4 &10
\end{array}
\right|=(10-4-8)-(8-4-10)=4 \not= 0$$; deducimos que los tres vectores son linealmente independientes entre sí, por lo tanto no están en el mismo plano y entonces las $$L_1$$ y $$L_2$$ se cruzan, es decir $$L_1 \cap L_2 =\emptyset$$. Concluimos que la afirmación (c) es falsa.
