[lindtaylor]

Hola. Estoy tratando de probar que la extensión \( K(\alpha) \) donde \( K=\mathbb{Q} \) y \( \alpha=\sqrt{3+\sqrt{3}} \) no es Galois.
Primero, en búsqueda del polinomio minimal de \( \alpha \) sobre \( K \), hago lo siguiente:

\( x=\alpha \) luego \( (x^2-3)^2=3 \), es decir, \( f(x)=x^4-6x^2+6 \) es el polinomio minimal de \( \alpha \) sobre \( K \) pues es irreducible con el criterio de Eisentein. Por lo tanto, \( [K(\alpha):K]=4. \)

Las raíces de \( f(x) \) son \( \pm\sqrt{3\pm \sqrt{3}} \). Y me sugirieron en este punto, verificar que \( \sqrt{3-\sqrt{3}}\not\in K(\alpha) \) (con lo cual la extensión no sería Galois, pues así \( K(\alpha) \) no sería el cuerpo de descomposición de \( f(x)) \)

Entonces, para probar que \( \sqrt{3-\sqrt{3}}\not\in K(\alpha) \) solo obtengo lo siguiente: Por contradicción, si \( \sqrt{3-\sqrt{3}}\in K(\alpha) \) (es decir, suponiendo que la extensión es Galois) entonces \( \sqrt{6}\in K(\alpha) \). Como además \( \sqrt{3}\in K(\alpha) \) se obtiene que \( \sqrt{2}\in K(\alpha) \). Por lo tanto, \( K(\sqrt{2},\sqrt{3})\subset K(\alpha) \). Como estamos suponiendo que la extensión es Galois, y además la extensión \( K(\sqrt{2},\sqrt{3}) \) es Galois también de grado 4, como espacios vectoriales, se cumple que \( K(\alpha)=K(\sqrt{2},\sqrt{3}) \). Por lo tanto, \( \alpha\in K(\sqrt{2},\sqrt{3}). \)

Por lo anterior, \( \alpha=a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6} \) y acá no sé como seguir para obtener una contradicción de forma no tan laboriosa.

 

[geómetracat]

La forma más sencilla que se me ha ocurrido es la siguiente. Siguiendo por donde has llegado, \[ \Bbb Q(\alpha)=\Bbb Q(\sqrt{2},\sqrt{3}) \]. Ahora, considera estas dos extensiones no como extensiones de \[ \Bbb Q \], sino como extensiones de \[ \Bbb Q(\sqrt{3}) \]. Está claro que el grado de ambas extensiones sobre \[ \Bbb Q(\sqrt{3}) \] es \[ 2 \]. Si fueran iguales, tendríamos que \[ \sqrt{2}\in \Bbb Q(\alpha) \]. Como \[ \{1,\alpha\} \] es base de \[ \Bbb Q(\alpha) \] sobre \[ \Bbb Q(\sqrt{3}) \] podemos escribir \[ \sqrt{2}=a+b\alpha \], con \[ a,b \in \Bbb Q (\sqrt{3}) \].
Elevando al cuadrado:
\[ 2=a^2+b^2(3+\sqrt{3}) + 2ab \alpha \].
Luego debe ser \[ a^2+b^2(3+\sqrt{3})=2, 2ab=0 \].
De la segunda o bien \[ a=0 \] o bien \[ b=0 \].
Si \[ b=0 \], tienes que \[ a=\sqrt{2} \], contradicción pues \[ \sqrt{2} \notin \Bbb Q(\sqrt{3}) \].
Por tanto debe ser \[ a=0 \], lo que lleva a \[ b^2(3+\sqrt{3})=2 \], o equivalentemente \[ b^2=\frac{2}{3+\sqrt{3}}=1 - \frac{1}{3}\sqrt{3} \]. Ahora solo hay que ver que \[ 1-\frac{1}{3}\sqrt{3} \] no es un cuadrado en \[ \Bbb Q(\sqrt{3}) \], que es ya rutinario (de nuevo hay que usar que \[ \sqrt{2}\notin \Bbb Q(\sqrt{3}) \]).

[lindtaylor]

La forma más sencilla que se me ha ocurrido es la siguiente. Siguiendo por donde has llegado, \[ \Bbb Q(\alpha)=\Bbb Q(\sqrt{2},\sqrt{3}) \]. Ahora, considera estas dos extensiones no como extensiones de \[ \Bbb Q \], sino como extensiones de \[ \Bbb Q(\sqrt{3}) \]. Está claro que el grado de ambas extensiones sobre \[ \Bbb Q(\sqrt{3}) \] es \[ 2 \]. Si fueran iguales, tendríamos que \[ \sqrt{2}\in \Bbb Q(\alpha) \]. Como \[ \{1,\alpha\} \] es base de \[ \Bbb Q(\alpha) \] sobre \[ \Bbb Q(\sqrt{3}) \] podemos escribir \[ \sqrt{2}=a+b\alpha \], con \[ a,b \in \Bbb Q (\sqrt{3}) \].
Elevando al cuadrado:
\[ 2=a^2+b^2(3+\sqrt{3}) + 2ab \alpha \].
Luego debe ser \[ a^2+b^2(3+\sqrt{3})=2, 2ab=0 \].
De la segunda o bien \[ a=0 \] o bien \[ b=0 \].
Si \[ b=0 \], tienes que \[ a=\sqrt{2} \], contradicción pues \[ \sqrt{2} \notin \Bbb Q(\sqrt{3}) \].
Por tanto debe ser \[ a=0 \], lo que lleva a \[ b^2(3+\sqrt{3})=2 \], o equivalentemente \[ b^2=\frac{2}{3+\sqrt{3}}=1 - \frac{1}{3}\sqrt{3} \]. Ahora solo hay que ver que \[ 1-\frac{1}{3}\sqrt{3} \] no es un cuadrado en \[ \Bbb Q(\sqrt{3}) \], que es ya rutinario (de nuevo hay que usar que \[ \sqrt{2}\notin \Bbb Q(\sqrt{3}) \]).

Muchas gracias. Con esa sugerencia, obtengo lo siguiente:

Si \( 1-\frac{1}{3}\sqrt{3} \) es un cuadrado en \( \mathbb{Q}(\sqrt{3}) \) entonces \( 1-\frac{1}{3}\sqrt{3}=(a+b\sqrt{3})^2 \) con \( a,b\in\mathbb{Q} \). Luego \( a^2+3b^2=1 \) y \( -6ab=1 \).  De lo anterior, obtengo que \( b=\pm \sqrt{ \frac{ 3\pm \sqrt{6}}{9} }\not\in \mathbb{Q} \). Por lo tanto, no es un cuadrado.