\( \displaystyle\sum a_nx^n \) converge cuando \( x=4 \); entonces diverge cuando \( x=2 \). ¿Es verdadero, falso, o no puedo asegurar nada?.
La respuesta de
delmar resuelve el problema. No obstante doy una versión autocontenida por si tal vez no hubiérais visto series de potencias. Si \( \displaystyle\sum a_nx_1^n \) es convergente, \( a_nx_1^n\to 0 \) cuando \( n\to +\infty \). Entonces, existe \( K>0 \) tal que \( \left|a_nx_1^n\right|\leq K \) para todo \( n \). Si \( \left |{x}\right |<\left |{x_1}\right | \):
\( \displaystyle\left|a_nx^n\right|=\left|a_nx_1^n\right|\left|\frac{x}{x_1}\right|^n\leq K\left|\frac{x}{x_1}\right|^n. \)
La serie de término general \( \left|x/x_1\right|^n \) es geométrica de razón menor que \( 1 \), luego es convergente. Por el teorema del álgebra de series también lo es la de término general \( K\left|x/x_1\right|^n \) y por el criterio de la mayorante, también lo es \( \displaystyle\sum\left|a_nx^n\right| \) y como consecuencia, \( \displaystyle\sum a_nx^n \) es convergente.
