[Deza]

Sea \( A \) un subconjunto de \( \mathbb{R} \), \( f: A\rightarrow \mathbb{R} \) una función y \( T \) una relación en \( A \) tal que \( xTy \) si, y sólo si, \( f(x)\leq f(y) \). Demuestre que \( T \) es una relación de orden si, y sólo si, \( f \) es inyectiva.

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[pierrot]

La reflexiva y la transitiva se siguen de la reflexividad y transitividad de \( \leq \).

Para la antisimétrica, tienes que \( xRy \) e \( yRx \) significa \( f(x)\leq f(y) \) y \( f(y)\leq f(x) \), o sea, \( f(x)=f(y) \). Que \( f(x)=f(y) \) implique \( x=y \) se cumple si, y sólo si, \( f \) es inyectiva (por definición).