[Deza]

Sea A un conjunto no vacío y R^4 el conjunto de funciones de A a R. La suma de funciones en R^ 4 está definida por (f + g) = f (x) + g (x), para todos x perteneciente a A. Compruebe que el par (R ^ 4  . +) sea un grupo abeliano

[Fernando Revilla]

Sea A un conjunto no vacío y R^4 el conjunto de funciones de A a R. La suma de funciones en R^ 4 está definida por (f + g) = f (x) + g (x), para todos x perteneciente a A. Compruebe que el par (R ^ 4  . +) sea un grupo abeliano

Me parece curiosa la pregunta. No sé que pinta \( \mathbb{R}^4 \). Por el mismo precio puedes demostrar que si \( S \) es conjunto no vacío,

         \( \mathscr{F}(S,\mathbb{R})=\{f:S\to \mathbb{R}:f\text{ es aplicación}\} \),

es grupo abeliano con la operación \( + \) que indicas. Por ejemplo,

Asociativa. Para todo \( f,g,h\in \mathscr{F}(S,\mathbb{R}) \), para todo \( x\in S \) y usando la propiedad asociativa de la suma de en \( \mathbb{R} \),:

         \( \begin{aligned}&[(f+g)+h](x)=[(f+g)(x)]+h(x)=[f(x)+g(x)]+h(x)\\
&=f(x)+[g(x)+h(x)]=f(x)+[(g+h)(x)]=[f+(g+h)](x).
\end{aligned} \)

Por la definición de igualdad de funciones, \( (f+g)+h=f+(g+h). \) Intenta demostrar el resto de propiedades.

[Luis Fuentes]

Hola

Sea A un conjunto no vacío y R^4 el conjunto de funciones de A a R. La suma de funciones en R^ 4 está definida por (f + g) = f (x) + g (x), para todos x perteneciente a A. Compruebe que el par (R ^ 4  . +) sea un grupo abeliano

En realidad supongo que donde pusiste R^4 querías poner \( R^A \) que es como habitualmente se denota el conjunto de funciones de \( A \) a \( R \).

Sospecho que donde viste escrito el ejercicio confundiste la \( A \) superíndice con un \( 4 \).

Saludos.

[Fernando Revilla]

En realidad supongo que donde pusiste R^4 querías poner \( R^A \) que es como habitualmente se denota el conjunto de funciones de \( A \) a \( R \).
Sospecho que donde viste escrito el ejercicio confundiste la \( A \) superíndice con un \( 4 \).

Tiene total sentido lo que dices .